·800· 工程科学学报，第37卷，第6期 统的控制精度.提高结构的安全系数能够有效降低这 些影响，但同时也会使电机体积和气隙等参数增大，造 金出轴 永磁体阵列 成电机性能的改变，限制球形电机的应用.因此，计算 定子线图和支座 定子线圈电磁力并分析其产生的应变是永磁球形电动 机结构优化设计的重要环节之一 永磁球形电动机的力矩建模一直是研究人员的重 定子壳体 要研究内容之一.Wang等四对一台具有四个永磁体 磁极和四对定子线圈的永磁球形电动机的气隙磁场、 驱动力矩和反电动势进行建模，获得了相应的解析模 型，并利用此解析模型以力矩最大和加速度最大为目 标对永磁球形电机的参数进行了优化.Yan等圆建立 了分别采用单层和双层永磁体阵列的永磁球形电动机 图1：永磁球形电动机结构示意图 的气隙磁场解析模型，并利用洛仑兹力公式推导了多 Fig.1 Schematic illustration of a permanent magnet spherical motor 定子线圈的力矩合成模型.Zhang等分析了具有24 个空心线圈的永磁球形电动机的力矩合成规律，提出 了定子线圈数冗余时的电流优化算法.Lee等@提出 永磁体阵列 了一种推导三自由度球形轮式电动机力矩模型的新方 法，该方法降低了计算力矩的计算量.Kag等研究 了利用电流补偿方法减少永磁球形轮式电动机保持转 矩误差的方法.Xa等☒提出一种利用二维有限元模 型替代三维有限元模型计算永磁球形电动机力矩的新 方法，降低有限元分析过程的计算量.Gu0等圆深入 图2永磁球形电动机工作原理 研究了永磁球形电动机磁极结构对空间定位力矩的影 Fig.2 Working principle of a permanent magnet spherical motor 响并提出一种新的设计结构，使侧倾转矩达到最大值. 然而，上述研究集中在对驱动永磁球形电动机转子的 值计算法进行.与数值计算法相比，电磁力解析模型 可以建立各种参数与电磁力的函数关系，计算量小，便 力矩进行建模，很少有研究涉及定子线圈受力后的变 于分析各参数的影响和实现进一步的设计优化. 形问题. 1.1气隙磁场 本文分析了永磁体球形电动机定子线圈电磁力对 永磁球形电动机气隙磁场模型在文献4]中给 定子结构的影响。首先利用球谐波级数推导了单个定 出.此模型中采用表贴型永磁体磁极，各磁极沿赤道 子线圈所受径向和切向电磁力的解析表达式，然后利 分布，并采用空心定子线圈.在转子球坐标系下，气隙 用有限元法计算了电磁力作用下线圈座产生的应变 量，分析了定子壳体厚度、线圈座连接杆直径和长度对 磁通密度B,的各分量表示为 定子线圈座应变的影响，最后利用有限元模型对电磁 力解析模型进行了验证. B1= 1定子线圈电磁力模型 本文所述永磁球形电动机的结构如图1所示，电 机由内表面安装有多个空心线圈的球形定子壳体和具 有表贴型永磁体的球形转子构成。通常情况下，定子 含.作)含 dp (cos 0) 线圈数多于机械自由度数.为了消除磁阻转矩，定子 壳体和线圈座采用硬铝制成.在该球形电动机转子球 宫k(代)“gmn P"(cos 0) sin 心建立球坐标系2，其工作原理如图2所示.独立激 (1) 励的定子线圈与球形转子气隙磁场相互作用，产生通 式中，Pm(cos)cos mop和P(cos0)sin m为球谐波 过球心的径向电磁力F,及与球体表面相切的切向电 函数，变量r、0和p为空间任一点的球坐标，n和m 磁力F和F。:各定子线圈产生的切向电磁力合成为 代表连带勒让德多项式的次数和阶数，R为球形转 驱动球形转子旋转的电磁转矩. 子外半径，系数(。、球谐系数a和b在文献14]中 线圈电磁力的计算可以采用解析法或有限元等数 给出.工程科学学报，第 37 卷，第 6 期 统的控制精度． 提高结构的安全系数能够有效降低这 些影响，但同时也会使电机体积和气隙等参数增大，造 成电机性能的改变，限制球形电机的应用． 因此，计算 定子线圈电磁力并分析其产生的应变是永磁球形电动 机结构优化设计的重要环节之一． 永磁球形电动机的力矩建模一直是研究人员的重 要研究内容之一． Wang 等［1］对一台具有四个永磁体 磁极和四对定子线圈的永磁球形电动机的气隙磁场、 驱动力矩和反电动势进行建模，获得了相应的解析模 型，并利用此解析模型以力矩最大和加速度最大为目 标对永磁球形电机的参数进行了优化． Yan 等［8］建立 了分别采用单层和双层永磁体阵列的永磁球形电动机 的气隙磁场解析模型，并利用洛仑兹力公式推导了多 定子线圈的力矩合成模型． Zhang 等［9］分析了具有 24 个空心线圈的永磁球形电动机的力矩合成规律，提出 了定子线圈数冗余时的电流优化算法． Lee 等［10］提出 了一种推导三自由度球形轮式电动机力矩模型的新方 法，该方法降低了计算力矩的计算量． Kang 等［11］研究 了利用电流补偿方法减少永磁球形轮式电动机保持转 矩误差的方法． Xia 等［12］提出一种利用二维有限元模 型替代三维有限元模型计算永磁球形电动机力矩的新 方法，降低有限元分析过程的计算量． Guo 等［13］深入 研究了永磁球形电动机磁极结构对空间定位力矩的影 响并提出一种新的设计结构，使侧倾转矩达到最大值． 然而，上述研究集中在对驱动永磁球形电动机转子的 力矩进行建模，很少有研究涉及定子线圈受力后的变 形问题． 本文分析了永磁体球形电动机定子线圈电磁力对 定子结构的影响． 首先利用球谐波级数推导了单个定 子线圈所受径向和切向电磁力的解析表达式，然后利 用有限元法计算了电磁力作用下线圈座产生的应变 量，分析了定子壳体厚度、线圈座连接杆直径和长度对 定子线圈座应变的影响，最后利用有限元模型对电磁 力解析模型进行了验证． 1 定子线圈电磁力模型 本文所述永磁球形电动机的结构如图 1 所示，电 机由内表面安装有多个空心线圈的球形定子壳体和具 有表贴型永磁体的球形转子构成． 通常情况下，定子 线圈数多于机械自由度数． 为了消除磁阻转矩，定子 壳体和线圈座采用硬铝制成． 在该球形电动机转子球 心建立球坐标系 xyz，其工作原理如图 2 所示． 独立激 励的定子线圈与球形转子气隙磁场相互作用，产生通 过球心的径向电磁力 Fr及与球体表面相切的切向电 磁力 Fφ和 Fθ ． 各定子线圈产生的切向电磁力合成为 驱动球形转子旋转的电磁转矩． 线圈电磁力的计算可以采用解析法或有限元等数 图 1 永磁球形电动机结构示意图 Fig． 1 Schematic illustration of a permanent magnet spherical motor 图 2 永磁球形电动机工作原理 Fig． 2 Working principle of a permanent magnet spherical motor 值计算法进行． 与数值计算法相比，电磁力解析模型 可以建立各种参数与电磁力的函数关系，计算量小，便 于分析各参数的影响和实现进一步的设计优化． 1. 1 气隙磁场 永磁球形电动机气隙磁场模型在文献［14］中给 出． 此模型中采用表贴型永磁体磁极，各磁极沿赤道 分布，并采用空心定子线圈． 在转子球坐标系下，气隙 磁通密度 B1的各分量表示为 B1 = B1r B1θ B1          φ  = ∑ ∞ n = 0 (n + 1)ζn ( Rm ) r n+2 ∑ n m = 0 ［am n cos mφPm n (cos θ)］ － ∑ ∞ n = 0 ζn ( Rm ) r n+2 ∑ n m = [ 0 am n cos mφ dPm n (cos θ) d ] θ ∑ ∞ n = 0 ζn ( Rm ) r n+2 ∑ n m = [ 0 mam n sin mφ Pm n (cos θ) sin ]                 θ ． (1) 式中，Pm n ( cos θ) cos mφ 和 Pm n ( cos θ) sin mφ 为球谐波 函数，变量 r、θ 和 φ 为空间任一点的球坐标，n 和 m 代表连带勒让德多项式的次数和阶数，Rm为球形转 子外半径，系数 ζn、球谐系数 am n 和 bm n 在文献［14］中 给出． ·800·