永磁球形电动机定子线圈座的应变分析

工程科学学报，第37卷，第6期：799803,2015年6月 Chinese Journal of Engineering,Vol.37,No.6:799-803,June 2015 D0l:10.13374/j.issn2095-9389.2015.06.018:http://journals.ustb.edu.cn 永磁球形电动机定子线圈座的应变分析 吴凤英✉ 天津理工大学天津市复杂控制理论与应用重点实验室，天津300384 ☒通信作者，Email:wufy8912@163.com 摘要利用气隙磁通密度解析模型和洛仑兹力公式建立了球坐标系下空心定子线圈所受切向电磁力和径向电磁力的解析 模型.利用定子壳体和线圈座的有限元模型计算定子线圈座在电磁力作用下的应变，分析了定子壳体厚度、线圈座连接杆长 度和直径对应变的影响。最后利用有限元法和解析法对样机进行分析并对结果进行比较，验证了解析模型的正确性和准确 性.分析表明，当定子壳体厚度和连接杆直径线性减小而连接杆长度线性增大时，定子线圈座在电磁力作用下产生的应变量 在一定范围内线性增加，然后显著增加 关键词永磁电动机：线圈：应变分析：磁场：洛仑兹力 分类号TM351 Strain analysis of stator coil holders for permanent magnet spherical motors WU Feng-ying Tianjin Key Laboratory for Control Theory and Application in Complicated Systems,Tianjin University of Technology,Tianjin 300384,China Corresponding author,E-mail:wufy8912@163.com ABSTRACT An analytical model of air-gap flux density and the Lorenz force law were used to establish radial and tangential electro- magnetic force models in the spherical coordinate system for the stator coils.Then,a finite element model of the stator casing and coil holder was applied to compute the strain of the coil holder caused by electromagnetic force,and the influences of the stator casing's thickness,the diameter and the length of the coil holder's connecting rod on this strain were analyzed.Finally,the finite element method and the analytical method were used to analyze a prototype motor and their results were compared,which verified the validity and accuracy of the analytical models.This analysis shows that when the stator casing becomes thin or the connecting rod slenderizes, the strain of the stator coil holder produced by electromagnetic force increases linearly within a certain range and then grows significant- y KEY WORDS permanent magnet motors;coils:strain analysis;magnetic field:Lorenz force 工业机器人、类人机器人等应用对于多自由度执的线圈所产生的电磁力也随着球形转子的运动状态变 行器的要求不断提高，推动了多自由度执行器的研究 化.此电磁力在驱动球形转子旋转的同时作用于定子 与发展.作为一种多自由度执行器，永磁球形电动机壳体和线圈座，对电机的运行产生不良影响.一方面， 可以同时实现三自由度运动，具有重量轻、体积小、效 作用于转子的电磁力合力不断变化，可能增大球形转 率高、响应快等优点，获得了研究人员的关注-。 子与定子支承之间的摩擦，引起振动，使电机的性能恶 定子结构设计是永磁球形电动机设计的内容之 化，增加运动控制难度：另一方面，作用于定子壳体和 一，涉及定子壳体厚度，线圈的数量、空间方位和结构 线圈座的电磁力将引起结构变形和线圈空间方位的改 等参数.各线圈的空间位置、输入电流不同，独立激励 变，增大摩擦，降低输出转矩和动态响应速度，降低系 收稿日期：2014-0407 基金项目：天津市应用基础与前沿技术研究计划资助项目(14 JCYBJC18400)

工程科学学报，第 37 卷，第 6 期:799--803，2015 年 6 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 37，No． 6: 799--803，June 2015 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2015． 06． 018; http: / /journals． ustb． edu． cn 永磁球形电动机定子线圈座的应变分析 吴凤英 天津理工大学天津市复杂控制理论与应用重点实验室，天津 300384  通信作者，E-mail: wufy8912@ 163． com 摘 要 利用气隙磁通密度解析模型和洛仑兹力公式建立了球坐标系下空心定子线圈所受切向电磁力和径向电磁力的解析 模型． 利用定子壳体和线圈座的有限元模型计算定子线圈座在电磁力作用下的应变，分析了定子壳体厚度、线圈座连接杆长 度和直径对应变的影响． 最后利用有限元法和解析法对样机进行分析并对结果进行比较，验证了解析模型的正确性和准确 性． 分析表明，当定子壳体厚度和连接杆直径线性减小而连接杆长度线性增大时，定子线圈座在电磁力作用下产生的应变量 在一定范围内线性增加，然后显著增加． 关键词 永磁电动机; 线圈; 应变分析; 磁场; 洛仑兹力 分类号 TM351 Strain analysis of stator coil holders for permanent magnet spherical motors WU Feng-ying Tianjin Key Laboratory for Control Theory and Application in Complicated Systems，Tianjin University of Technology，Tianjin 300384，China  Corresponding author，E-mail: wufy8912@ 163． com ABSTRACT An analytical model of air-gap flux density and the Lorenz force law were used to establish radial and tangential electro￾magnetic force models in the spherical coordinate system for the stator coils． Then，a finite element model of the stator casing and coil holder was applied to compute the strain of the coil holder caused by electromagnetic force，and the influences of the stator casing’s thickness，the diameter and the length of the coil holder’s connecting rod on this strain were analyzed． Finally，the finite element method and the analytical method were used to analyze a prototype motor and their results were compared，which verified the validity and accuracy of the analytical models． This analysis shows that when the stator casing becomes thin or the connecting rod slenderizes， the strain of the stator coil holder produced by electromagnetic force increases linearly within a certain range and then grows significant￾ly． KEY WORDS permanent magnet motors; coils; strain analysis; magnetic field; Lorenz force 收稿日期: 2014--04--07 基金项目: 天津市应用基础与前沿技术研究计划资助项目(14JCYBJC18400) 工业机器人、类人机器人等应用对于多自由度执 行器的要求不断提高，推动了多自由度执行器的研究 与发展． 作为一种多自由度执行器，永磁球形电动机 可以同时实现三自由度运动，具有重量轻、体积小、效 率高、响应快等优点，获得了研究人员的关注［1 － 8］． 定子结构设计是永磁球形电动机设计的内容之 一，涉及定子壳体厚度，线圈的数量、空间方位和结构 等参数． 各线圈的空间位置、输入电流不同，独立激励 的线圈所产生的电磁力也随着球形转子的运动状态变 化． 此电磁力在驱动球形转子旋转的同时作用于定子 壳体和线圈座，对电机的运行产生不良影响． 一方面， 作用于转子的电磁力合力不断变化，可能增大球形转 子与定子支承之间的摩擦，引起振动，使电机的性能恶 化，增加运动控制难度;另一方面，作用于定子壳体和 线圈座的电磁力将引起结构变形和线圈空间方位的改 变，增大摩擦，降低输出转矩和动态响应速度，降低系

·800· 工程科学学报，第37卷，第6期 统的控制精度.提高结构的安全系数能够有效降低这 些影响，但同时也会使电机体积和气隙等参数增大，造 金出轴 永磁体阵列 成电机性能的改变，限制球形电机的应用.因此，计算 定子线图和支座 定子线圈电磁力并分析其产生的应变是永磁球形电动 机结构优化设计的重要环节之一 永磁球形电动机的力矩建模一直是研究人员的重 定子壳体 要研究内容之一.Wang等四对一台具有四个永磁体 磁极和四对定子线圈的永磁球形电动机的气隙磁场、 驱动力矩和反电动势进行建模，获得了相应的解析模 型，并利用此解析模型以力矩最大和加速度最大为目 标对永磁球形电机的参数进行了优化.Yan等圆建立 了分别采用单层和双层永磁体阵列的永磁球形电动机 图1：永磁球形电动机结构示意图 的气隙磁场解析模型，并利用洛仑兹力公式推导了多 Fig.1 Schematic illustration of a permanent magnet spherical motor 定子线圈的力矩合成模型.Zhang等分析了具有24 个空心线圈的永磁球形电动机的力矩合成规律，提出 了定子线圈数冗余时的电流优化算法.Lee等@提出 永磁体阵列 了一种推导三自由度球形轮式电动机力矩模型的新方 法，该方法降低了计算力矩的计算量.Kag等研究 了利用电流补偿方法减少永磁球形轮式电动机保持转 矩误差的方法.Xa等☒提出一种利用二维有限元模 型替代三维有限元模型计算永磁球形电动机力矩的新 方法，降低有限元分析过程的计算量.Gu0等圆深入 图2永磁球形电动机工作原理 研究了永磁球形电动机磁极结构对空间定位力矩的影 Fig.2 Working principle of a permanent magnet spherical motor 响并提出一种新的设计结构，使侧倾转矩达到最大值. 然而，上述研究集中在对驱动永磁球形电动机转子的 值计算法进行.与数值计算法相比，电磁力解析模型 可以建立各种参数与电磁力的函数关系，计算量小，便 力矩进行建模，很少有研究涉及定子线圈受力后的变 于分析各参数的影响和实现进一步的设计优化. 形问题. 1.1气隙磁场 本文分析了永磁体球形电动机定子线圈电磁力对 永磁球形电动机气隙磁场模型在文献4]中给 定子结构的影响。首先利用球谐波级数推导了单个定 出.此模型中采用表贴型永磁体磁极，各磁极沿赤道 子线圈所受径向和切向电磁力的解析表达式，然后利 分布，并采用空心定子线圈.在转子球坐标系下，气隙 用有限元法计算了电磁力作用下线圈座产生的应变 量，分析了定子壳体厚度、线圈座连接杆直径和长度对 磁通密度B,的各分量表示为 定子线圈座应变的影响，最后利用有限元模型对电磁 力解析模型进行了验证. B1= 1定子线圈电磁力模型 本文所述永磁球形电动机的结构如图1所示，电 机由内表面安装有多个空心线圈的球形定子壳体和具 有表贴型永磁体的球形转子构成。通常情况下，定子 含.作)含 dp (cos 0) 线圈数多于机械自由度数.为了消除磁阻转矩，定子 壳体和线圈座采用硬铝制成.在该球形电动机转子球 宫k(代)“gmn P"(cos 0) sin 心建立球坐标系2，其工作原理如图2所示.独立激 (1) 励的定子线圈与球形转子气隙磁场相互作用，产生通 式中，Pm(cos)cos mop和P(cos0)sin m为球谐波 过球心的径向电磁力F,及与球体表面相切的切向电 函数，变量r、0和p为空间任一点的球坐标，n和m 磁力F和F。:各定子线圈产生的切向电磁力合成为 代表连带勒让德多项式的次数和阶数，R为球形转 驱动球形转子旋转的电磁转矩. 子外半径，系数(。、球谐系数a和b在文献14]中 线圈电磁力的计算可以采用解析法或有限元等数 给出

工程科学学报，第 37 卷，第 6 期 统的控制精度． 提高结构的安全系数能够有效降低这 些影响，但同时也会使电机体积和气隙等参数增大，造 成电机性能的改变，限制球形电机的应用． 因此，计算 定子线圈电磁力并分析其产生的应变是永磁球形电动 机结构优化设计的重要环节之一． 永磁球形电动机的力矩建模一直是研究人员的重 要研究内容之一． Wang 等［1］对一台具有四个永磁体 磁极和四对定子线圈的永磁球形电动机的气隙磁场、 驱动力矩和反电动势进行建模，获得了相应的解析模 型，并利用此解析模型以力矩最大和加速度最大为目 标对永磁球形电机的参数进行了优化． Yan 等［8］建立 了分别采用单层和双层永磁体阵列的永磁球形电动机 的气隙磁场解析模型，并利用洛仑兹力公式推导了多 定子线圈的力矩合成模型． Zhang 等［9］分析了具有 24 个空心线圈的永磁球形电动机的力矩合成规律，提出 了定子线圈数冗余时的电流优化算法． Lee 等［10］提出 了一种推导三自由度球形轮式电动机力矩模型的新方 法，该方法降低了计算力矩的计算量． Kang 等［11］研究 了利用电流补偿方法减少永磁球形轮式电动机保持转 矩误差的方法． Xia 等［12］提出一种利用二维有限元模 型替代三维有限元模型计算永磁球形电动机力矩的新 方法，降低有限元分析过程的计算量． Guo 等［13］深入 研究了永磁球形电动机磁极结构对空间定位力矩的影 响并提出一种新的设计结构，使侧倾转矩达到最大值． 然而，上述研究集中在对驱动永磁球形电动机转子的 力矩进行建模，很少有研究涉及定子线圈受力后的变 形问题． 本文分析了永磁体球形电动机定子线圈电磁力对 定子结构的影响． 首先利用球谐波级数推导了单个定 子线圈所受径向和切向电磁力的解析表达式，然后利 用有限元法计算了电磁力作用下线圈座产生的应变 量，分析了定子壳体厚度、线圈座连接杆直径和长度对 定子线圈座应变的影响，最后利用有限元模型对电磁 力解析模型进行了验证． 1 定子线圈电磁力模型 本文所述永磁球形电动机的结构如图 1 所示，电 机由内表面安装有多个空心线圈的球形定子壳体和具 有表贴型永磁体的球形转子构成． 通常情况下，定子 线圈数多于机械自由度数． 为了消除磁阻转矩，定子 壳体和线圈座采用硬铝制成． 在该球形电动机转子球 心建立球坐标系 xyz，其工作原理如图 2 所示． 独立激 励的定子线圈与球形转子气隙磁场相互作用，产生通 过球心的径向电磁力 Fr及与球体表面相切的切向电 磁力 Fφ和 Fθ ． 各定子线圈产生的切向电磁力合成为 驱动球形转子旋转的电磁转矩． 线圈电磁力的计算可以采用解析法或有限元等数 图 1 永磁球形电动机结构示意图 Fig． 1 Schematic illustration of a permanent magnet spherical motor 图 2 永磁球形电动机工作原理 Fig． 2 Working principle of a permanent magnet spherical motor 值计算法进行． 与数值计算法相比，电磁力解析模型 可以建立各种参数与电磁力的函数关系，计算量小，便 于分析各参数的影响和实现进一步的设计优化． 1. 1 气隙磁场 永磁球形电动机气隙磁场模型在文献［14］中给 出． 此模型中采用表贴型永磁体磁极，各磁极沿赤道 分布，并采用空心定子线圈． 在转子球坐标系下，气隙 磁通密度 B1的各分量表示为 B1 = B1r B1θ B1          φ  = ∑ ∞ n = 0 (n + 1)ζn ( Rm ) r n+2 ∑ n m = 0 ［am n cos mφPm n (cos θ)］ － ∑ ∞ n = 0 ζn ( Rm ) r n+2 ∑ n m = [ 0 am n cos mφ dPm n (cos θ) d ] θ ∑ ∞ n = 0 ζn ( Rm ) r n+2 ∑ n m = [ 0 mam n sin mφ Pm n (cos θ) sin ]                 θ ． (1) 式中，Pm n ( cos θ) cos mφ 和 Pm n ( cos θ) sin mφ 为球谐波 函数，变量 r、θ 和 φ 为空间任一点的球坐标，n 和 m 代表连带勒让德多项式的次数和阶数，Rm为球形转 子外半径，系数 ζn、球谐系数 am n 和 bm n 在文献［14］中 给出． ·800·

吴风英：永磁球形电动机定子线圈座的应变分析 801 1.2电磁力模型 式中，J为电流密度，B.、B和B.为转子球坐标系xz下 施加在线圈上的电磁力通过线圈座作用于定子壳 气隙磁通密度的各分量，0和φ‘为参数方程(3)关于 体，使定子壳体和线圈座产生变形，改变线圈座的空间 变量山的一阶偏导数 方位，降低控制精度.变形量取决于电磁力的幅值和 (a)A 方向、结构参数和材料的弹性模量.为了便于分析定 线圈 一匝线圈 子壳体和线圈座的变化，线圈的电磁力在球坐标系下 被分解为切向电磁力F,和径向电磁力F,切向电磁力 转子 定子 又分解为两个分量F和F。 永磁球形电动机中采用空心线圈而不是铁心线圈 产生驱动转矩，以消除磁阻转矩.采用洛仑兹力法则 可以求解载流线圈在气隙磁场中所受到的电磁力.根 据洛仑兹力法则，在气隙磁场B,中，电流为I的载流 图3计算电磁力的线图模型.(a)参数的近似处理（截面视 线圈上任意一段微元dL受到的电磁力dF可以表示 图)：(b)线圈坐标系(A向视图) 为 Fig.3 Coil model for electromagnetic force caculation:(a)approxi- dF=IdL×B (2) mation of coil parameters(sectional view);(b)coordinate system at- 为了在球坐标系下对电磁力进行积分，需要对分 tached to the coil (view in A-direction) 析模型中的圆柱形线圈进行修正.圆柱线圈被替换为 考虑线圈缠绕的导线长度时，满足下述条件时圆 锥形线圈，其等效模型如图3所示.在图3(a)中，虚线 柱线圈与等效的锥形线圈所用导线长度几乎相等： 绘制的圆柱形线圈被近似处理为实线绘制的锥形线 [o =tan-[d/(2R+28+H)] 圈，锥形线圈由与线圈内、外径对应的角度专。5，和半 5=tanl[D/(2R.+26+A], 径R。、R,确定.在转子坐标系xz中，第i个锥形线圈 (7) Ro=(R+5)/cos, 轴线上任意一点的坐标为(，0，p:),该点处的单位 坐标矢量分别为em、em和e,线圈与球形转子之间的 R =(R++H)/cos. 式中，δ为线圈与球形转子之间的气隙，H为线圈高度 气隙为δ.在球形转子中心建立附着在第i个锥形线 圈上的笛卡尔坐标系YZ,线圈坐标系的X、Y和Z坐 从式(4)~式(6)可以看出，径向和切向电磁力受 电流密度J、磁通密度B,和参数。、点、R、R1、9、P:的 标轴的单位坐标矢量分别与矢量eae和e重合，如 图3(b)所示. 影响. 在线圈坐标系YZ中，任意一匝圆形线圈导线的 2定子线圈座应变分析 参数化方程可以表示为： 2.1分析模型 r=r, 定子集中线圈座在承受电磁力时会产生应变，影 sin gcos sin ;cos+sin gsin cos+cossinsin o=tan 响电机性能.利用电磁力模型计算定子线圈产生的电 sin gcos ieos c,cos 0:-sin Esin isin o;cos Fcos c;sin 磁力，并利用有限元模型分析和验证定子结构参数对 0=cos(cos Ecos 0-sin gcos sin ) 应变量的影响.在确定定子壳体、线圈座、永磁体和转 (3) 子铁芯材料后，影响定子线圈座应变的主要参数有定 式中，「为线圈坐标系原点到该匝导线上任意一点的 子壳体厚度、线圈座与壳体连接杆的长度1和直径 矢径的长度，为该矢径与线圈轴线的夹角，山为该匝 d,如图4(a)所示.针对永磁球形电动机样机，采用有 线圈圆心指向该点的矢径与线圈坐标系X坐标轴的 限元法计算厚度t、连接杆的长度l和直径d,对定子线 夹角.利用参数化方程(3)描述图3所示的锥形线圈 圈座变形的影响，计算模型如图4(b)所示.利用式 等效模型时，各变量的范围分别为R。≤≤R,5。≤≤ (4)~式(6)计算出线圈电磁力，施加于有限元计算模 和0≤山≤2π.若参数r和为已知量，则方程(3)为 型.为了方便比较计算结果，各分析中采用相同的电 变量山的函数.在转子坐标系xz中，施加于线圈的径 磁力载荷.线圈的空间方位为0=π/2和p=5π/18， 向和切向电磁力表示为： 其他分析参数见表1.线圈径向电磁力F,为均匀分 F=Jrd广些广产(B,gr-inBe1dw,（4) 布，沿y方向作用于线圈凸缘内侧面，切向电磁力F,等 效后沿Σ方向作用于线圈有效长度中点处.在分析 f,=rdr drsineB,pd地， (5) 中，假设支座与壳体为刚性连接，支座的凸缘厚度为 R 1.0mm. ,=J山。（-B) (6)

吴凤英: 永磁球形电动机定子线圈座的应变分析 1. 2 电磁力模型 施加在线圈上的电磁力通过线圈座作用于定子壳 体，使定子壳体和线圈座产生变形，改变线圈座的空间 方位，降低控制精度． 变形量取决于电磁力的幅值和 方向、结构参数和材料的弹性模量． 为了便于分析定 子壳体和线圈座的变化，线圈的电磁力在球坐标系下 被分解为切向电磁力 Ft和径向电磁力 Fr，切向电磁力 又分解为两个分量 Fφ和 Fθ ． 永磁球形电动机中采用空心线圈而不是铁心线圈 产生驱动转矩，以消除磁阻转矩． 采用洛仑兹力法则 可以求解载流线圈在气隙磁场中所受到的电磁力． 根 据洛仑兹力法则，在气隙磁场 B1中，电流为 I 的载流 线圈上任意一段微元 dL 受到的电磁力 dF 可以表示 为 dF = IdL × B1 ． (2) 为了在球坐标系下对电磁力进行积分，需要对分 析模型中的圆柱形线圈进行修正． 圆柱线圈被替换为 锥形线圈，其等效模型如图3 所示． 在图3(a)中，虚线 绘制的圆柱形线圈被近似处理为实线绘制的锥形线 圈，锥形线圈由与线圈内、外径对应的角度 ξ0、ξ1和半 径 R0、R1确定． 在转子坐标系 xyz 中，第 i 个锥形线圈 轴线上任意一点的坐标为( ri，θi，φi)，该点处的单位 坐标矢量分别为 eir、eiθ和 eiφ，线圈与球形转子之间的 气隙为 δ． 在球形转子中心建立附着在第 i 个锥形线 圈上的笛卡尔坐标系 XYZ，线圈坐标系的 X、Y 和 Z 坐 标轴的单位坐标矢量分别与矢量 eiθ、eiφ和 eir重合，如 图 3(b)所示． 在线圈坐标系 XYZ 中，任意一匝圆形线圈导线的 参数化方程可以表示为: r = r， φ = tan －1 sin ξcos ψsin φicos θi + sin ξsin ψcos φi + cos ξsin φisin θi sin ξcos ψcos φicos θi － sin ξsin ψsin φi + cos ξcos φisin θi ， θ = cos －1 (cos ξcos θi － sin ξcos ψsin θi)      ． (3) 式中，r 为线圈坐标系原点到该匝导线上任意一点的 矢径的长度，ξ 为该矢径与线圈轴线的夹角，ψ 为该匝 线圈圆心指向该点的矢径与线圈坐标系 X 坐标轴的 夹角． 利用参数化方程(3)描述图 3 所示的锥形线圈 等效模型时，各变量的范围分别为 R0≤r≤R1、ξ0≤ξ≤ ξ1和 0≤ψ≤2π． 若参数 r 和 ξ 为已知量，则方程(3)为 变量 ψ 的函数． 在转子坐标系 xyz 中，施加于线圈的径 向和切向电磁力表示为: Fr = J ∫ R1 R0 rdr ∫ ξ1 ξ0 dξ ∫ 2π 0 (rBφ θ' － rsinθBθφ')dψ，(4) Fθ = J ∫ R1 R0 rdr ∫ ξ1 ξ0 dξ ∫ 2π 0 rsinθBrφ'dψ， (5) Fφ = J ∫ R1 R0 rdr ∫ ξ1 ξ0 dξ ∫ 2π 0 ( － rBr)θ'dψ． (6) 式中，J 为电流密度，Br、Bθ和 Bφ为转子球坐标系 xyz 下 气隙磁通密度的各分量，θ'和 φ'为参数方程(3)关于 变量 ψ 的一阶偏导数． 图 3 计算电磁力的线圈模型． ( a) 参数的近似处理( 截面视 图); (b)线圈坐标系(A 向视图) Fig． 3 Coil model for electromagnetic force caculation: (a) approxi￾mation of coil parameters (sectional view); (b) coordinate system at￾tached to the coil (view in A-direction) 考虑线圈缠绕的导线长度时，满足下述条件时圆 柱线圈与等效的锥形线圈所用导线长度几乎相等: ξ0 = tan － 1 ［d /(2Rm + 2δ + H)］， ξ1 = tan － 1 ［D/(2Rm + 2δ + H)］， R0 = (Rm + δ) / cosξ， R1 = (Rm + δ + H) / cosξ      ． (7) 式中，δ 为线圈与球形转子之间的气隙，H 为线圈高度． 从式(4) ～ 式(6)可以看出，径向和切向电磁力受 电流密度 J、磁通密度 B1和参数 ξ0、ξ1、R0、R1、θi、φi的 影响． 2 定子线圈座应变分析 2. 1 分析模型 定子集中线圈座在承受电磁力时会产生应变，影 响电机性能． 利用电磁力模型计算定子线圈产生的电 磁力，并利用有限元模型分析和验证定子结构参数对 应变量的影响． 在确定定子壳体、线圈座、永磁体和转 子铁芯材料后，影响定子线圈座应变的主要参数有定 子壳体厚度 t、线圈座与壳体连接杆的长度 l 和直径 ds，如图 4(a)所示． 针对永磁球形电动机样机，采用有 限元法计算厚度 t、连接杆的长度 l 和直径 ds对定子线 圈座变形的影响，计算模型如图 4 ( b) 所示． 利用式 (4) ～ 式(6)计算出线圈电磁力，施加于有限元计算模 型． 为了方便比较计算结果，各分析中采用相同的电 磁力载荷． 线圈的空间方位为 θ = π/2 和 φ = 5π/18， 其他分析参数见表 1． 线圈径向电磁力 Fr 为均匀分 布，沿 y 方向作用于线圈凸缘内侧面，切向电磁力 Ft等 效后沿 z 方向作用于线圈有效长度中点处． 在分析 中，假设支座与壳体为刚性连接，支座的凸缘厚度为 1. 0 mm． ·801·

·802· 工程科学学报，第37卷，第6期 连接杆 定子壳体 绕组 图4应变计算模型.(a)结构参数：(b)有限元模型 Fig.4 Strain calculation model:(a)structural parameters:(b)finite element model 表1球形电机主要参数 Table I Main parameters of the spherical motor 参数 数值 参数 数值 极对数，p 永磁体阵列弧长比率，k 0.5 定子壳体内半径，R,/mm 100 永磁体回复磁导率，“m 1.08 转子外半径，Rm/mm 80 圆柱线圈外直径，D/mm 28 转子铁芯半径，R,/mm 65 圆柱线图内直径，d/mm 12 转子铁芯相对磁导率，以， 8000 圆柱线图高度，H/mm 14 永磁体剩磁，B,T 1.22 线圈电流密度，J/(A·m2) 7x106 永磁体阵列弧长比率，k。 0.7 气隙，8/mm 1.5 硬铝合金弹性模量，E/GPa 70 硬铝合金泊松比，y 0.3 2.2壳体厚度的影响 接杆长度1的增加和直径d,的减少，线圈座的应变量 线圈座在电磁力作用下产生的总应变量δ，随壳体 不断增加，变化量也增大.当连接杆长度直径比值/ 厚度：变化的情况如图5所示，其中线圈连接杆长度 d,较小时，线圈座的应变较小，这意味着当连接杆长度 1=3.5mm,直径为d.=10mm从图5可以看出，随着 I较小或直径d,较大时都可以降低电磁力对定子结构 厚度：的增加，线圈座的应变逐渐减小，可以分为线性 的影响. 区和非线性区两部分.壳体较厚时，壳体变形处于线 性区，应变较小.壳体较薄时，壳体变形处于非线性 区，应变迅速增大，这种变形会导致球形电机性能发生 较大变化 1.2 95 75 长度，mm 5.5 8 7 6 35109 0.9 直径，d/mm 0.8 图6线圈座应变随连接杆长度1和直径d,变化 0.7 Fig.6 Variation in strain of the coil holder with the length and di- 06 一 56 ameter d.of the connecting rod 4 7 8 壳体厚度，mm 3 图5线图座应变随壳体厚度的变化 仿真与验证 Fig.5 Variation in strain of the coil holder with the stator casing's 为了验证解析模型，采用有限元法与解析模型法 thickness 分析定子线圈在多个方位处的电磁力，并将结果进行 2.3连接杆长度和直径的影响 比较.分别利用解析模型和有限元模型计算永磁球形 线圈座在电磁力作用下产生的总应变量δ，随线圈 电动机转子坐标系中方位角为6=90°，9：=i×10 连接杆长度1和直径d,变化的情况如图6所示，其中 (i=0,1,…,18)的定子线圈所受的电磁力，其他分析 定子壳体厚度为t=8mm.从图6中可以看出，随着连 模型的参数在表1中.计算结果如图7所示

工程科学学报，第 37 卷，第 6 期 图 4 应变计算模型． (a)结构参数; (b)有限元模型 Fig． 4 Strain calculation model: (a) structural parameters; (b) finite element model 表 1 球形电机主要参数［14］ Table 1 Main parameters of the spherical motor ［14］ 参数 数值 参数 数值 极对数，p 3 永磁体阵列弧长比率，kψ 0. 5 定子壳体内半径，Rs /mm 100 永磁体回复磁导率，μm 1. 08 转子外半径，Rm /mm 80 圆柱线圈外直径，D/mm 28 转子铁芯半径，Rr /mm 65 圆柱线圈内直径，d /mm 12 转子铁芯相对磁导率，μr 8000 圆柱线圈高度，H/mm 14 永磁体剩磁，Br /T 1. 22 线圈电流密度，J /(A·m － 2 ) 7 × 106 永磁体阵列弧长比率，kα 0. 7 气隙，δ /mm 1. 5 硬铝合金弹性模量，E /GPa 70 硬铝合金泊松比，γ 0. 3 2. 2 壳体厚度的影响 线圈座在电磁力作用下产生的总应变量 δt随壳体 厚度 t 变化的情况如图 5 所示，其中线圈连接杆长度 l = 3. 5 mm，直径为 ds = 10 mm． 从图 5 可以看出，随着 厚度 t 的增加，线圈座的应变逐渐减小，可以分为线性 区和非线性区两部分． 壳体较厚时，壳体变形处于线 性区，应变较小． 壳体较薄时，壳体变形处于非线性 区，应变迅速增大，这种变形会导致球形电机性能发生 较大变化． 图 5 线圈座应变随壳体厚度的变化 Fig． 5 Variation in strain of the coil holder with the stator casing’s thickness 2. 3 连接杆长度和直径的影响 线圈座在电磁力作用下产生的总应变量 δt随线圈 连接杆长度 l 和直径 ds变化的情况如图 6 所示，其中 定子壳体厚度为 t = 8 mm． 从图 6 中可以看出，随着连 接杆长度 l 的增加和直径 ds的减少，线圈座的应变量 不断增加，变化量也增大． 当连接杆长度直径比值 l / ds较小时，线圈座的应变较小，这意味着当连接杆长度 l 较小或直径 ds较大时都可以降低电磁力对定子结构 的影响． 图 6 线圈座应变随连接杆长度 l 和直径 ds变化 Fig． 6 Variation in strain of the coil holder with the length l and di￾ameter ds of the connecting rod 3 仿真与验证 为了验证解析模型，采用有限元法与解析模型法 分析定子线圈在多个方位处的电磁力，并将结果进行 比较． 分别利用解析模型和有限元模型计算永磁球形 电动机转子坐标系中方位角为 θ = 90°，φi = i × 10° (i = 0，1，…，18)的定子线圈所受的电磁力，其他分析 模型的参数在表 1 中． 计算结果如图 7 所示． ·802·

吴风英：永磁球形电动机定子线圈座的应变分析 ·803· 0.6 0.6 (a) 。-鲜析法 。解析法 0.4 口-有限元法 0.5 。-有限元法 0.4 0.2 0.3 0.2 M 0.2 0.1 0.4 20 406080100120140160180 20 10 6080100120140160180 p) l) 图7有限元结果与解析结果的比较.(a)径向电磁力：(b)切向电磁力 Fig.7 Comparison between results calculated by the FEM method and the analytical method:(a)radial force:(b)tangential force 从图7中可以看到，利用解析模型和有限元模型 5]Yano T.Basic characteristics of a hexahedron-octahedron based 获得的径向和切向电磁力基本相符，验证了解析模型 spherical stepping motor2010 International Symposium on Pow- 的有效性.此处解析模型采用的球谐级数最高次数为 er Electronics Electrical Drives Automation Motion.Pisa,2010: 1748 21.由于解析模型存在截断误差，所以两种模型获得 [6]Kahlen K,Voss I.Priebe C,et al.Torque control of a spherical 的电磁力波形有所不同. machine with variable pole pitch.IEEE Trans Power Electron, 2004,19(6):1628 4结论 ]Chirikjian GS,Stein D.Kinematic design and commutation of a (1)建立了计算永磁球形电动机单个空心定子线 spherical stepper motor.IEEE ASME Trans Mechatron,1999,4 圈电磁力的解析模型，可用于简化电磁力的计算，分析 (4):342 相关参数的影响，以实现优化设计 8]Yan L,Chen I M,Lim C K,et al.Design and analysis of a per- manent magnet spherical actuator.IEEE AS.ME Trans Mechatron, (2)在球坐标系下空心定子集中线圈受到径向电 2008,13(2):239 磁力和切向电磁力，引起定子壳体和线圈座的变形，线 9] ZhangL,Yan L,Chen W H,et al.Current optimization of 3- 圈座的应变量与壳体厚度、线圈座连接杆长度和直径 DOF permanent magnet spherical motor Proceedings of IEEE 有关 Conference on Industrial Electronics and Applications (ICIEA). (3)当厚度、连接杆直径线性减小，连接杆长度线 Beijing,2011:1111 性增大时，线圈座应变量在一定范围内线性增加，然后 [10]Lee K M,Bai K,Lim J.Dipole models for forward/Inverse torque computation of a spherical motor.IEEE ASME Trans 显著增加 Mechatron,2009,14(1):46 [11]Kang D W,Kim W H,Go S C,et al.Method of current com- 参考文献 pensation for reducing eor of holding torque of permanent-mag- [Wang W Y,Wang J B,Jewell G W,et al.Design and control of net spherical wheel motor.IEEE Trans Magn,2009,45 (6): a novel spherical permanent magnet actuator with three degrees of 2819 freedom.IEEE ASME Trans Mechatron,2003,8(4):457 [12]Xia C L,Song P,Li H F,et al.Research on torque calculation 2]Lee K M,Sosseh R A,Wei Z.Effects of the torque model on the method of permanent-magnet spherical motor based on the finite- control of a VR spherical motor.Control Eng Pract,2004,12 element method.IEEE Trans Magn,2009,45(4):2015 (11):1437 03] Guo JJ,Kim D H,Son H S.Effects of magnetic pole design on B3]Lee H J.Park HJ,Ryu G H,et al.Performance improvement of orientation torque for a spherical motor.IEEE ASME Trans operating three-degree-of-freedom spherical permanent-magnet mo- Mechatron,2013,18(4):1420 tor.IEEE Trans Magn,2012,48 (11):4654 04] Xin J G,Xia C L,Li H F,et al.Optimization design of perma- [4]Choe YY,Lee H J,Cho S Y,et al.A study on improvement ef- nent magnet array for spherical motor based on analytical model ficiency of surfaced permanent magnet spherical motor /Proceed- Trans China Electrotech Soc,2013,28(7):87 ings of International Conference Electrical Machine and System. (信建国，夏长亮，李洪凤，等.基于解析模型的永磁球形电 Beijing,2011:1 机永磁体优化设计.电工技术学报，2013,28(7)：87)

吴凤英: 永磁球形电动机定子线圈座的应变分析 图 7 有限元结果与解析结果的比较． (a)径向电磁力; (b)切向电磁力 Fig． 7 Comparison between results calculated by the FEM method and the analytical method: (a) radial force; (b) tangential force 从图 7 中可以看到，利用解析模型和有限元模型 获得的径向和切向电磁力基本相符，验证了解析模型 的有效性． 此处解析模型采用的球谐级数最高次数为 21． 由于解析模型存在截断误差，所以两种模型获得 的电磁力波形有所不同． 4 结论 (1) 建立了计算永磁球形电动机单个空心定子线 圈电磁力的解析模型，可用于简化电磁力的计算，分析 相关参数的影响，以实现优化设计． (2) 在球坐标系下空心定子集中线圈受到径向电 磁力和切向电磁力，引起定子壳体和线圈座的变形，线 圈座的应变量与壳体厚度、线圈座连接杆长度和直径 有关． (3) 当厚度、连接杆直径线性减小，连接杆长度线 性增大时，线圈座应变量在一定范围内线性增加，然后 显著增加． 参 考 文 献 ［1］ Wang W Y，Wang J B，Jewell G W，et al． Design and control of a novel spherical permanent magnet actuator with three degrees of freedom． IEEE ASME Trans Mechatron，2003，8(4): 457 ［2］ Lee K M，Sosseh R A，Wei Z． Effects of the torque model on the control of a VR spherical motor． Control Eng Pract，2004，12 (11): 1437 ［3］ Lee H J，Park H J，Ryu G H，et al． Performance improvement of operating three-degree-of-freedom spherical permanent-magnet mo￾tor． IEEE Trans Magn，2012，48(11): 4654 ［4］ Choe Y Y，Lee H J，Cho S Y，et al． A study on improvement ef￾ficiency of surfaced permanent magnet spherical motor / / Proceed￾ings of International Conference Electrical Machine and System． Beijing，2011: 1 ［5］ Yano T． Basic characteristics of a hexahedron-octahedron based spherical stepping motor / / 2010 International Symposium on Pow￾er Electronics Electrical Drives Automation Motion． Pisa，2010: 1748 ［6］ Kahlen K，Voss I，Priebe C，et al． Torque control of a spherical machine with variable pole pitch． IEEE Trans Power Electron， 2004，19(6): 1628 ［7］ Chirikjian G S，Stein D． Kinematic design and commutation of a spherical stepper motor． IEEE ASME Trans Mechatron，1999，4 (4): 342 ［8］ Yan L，Chen I M，Lim C K，et al． Design and analysis of a per￾manent magnet spherical actuator． IEEE ASME Trans Mechatron， 2008，13(2): 239 ［9］ Zhang L，Yan L，Chen W H，et al． Current optimization of 3- DOF permanent magnet spherical motor / / Proceedings of IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications ( ICIEA)． Beijing，2011: 1111 ［10］ Lee K M，Bai K，Lim J． Dipole models for forward /Inverse torque computation of a spherical motor． IEEE ASME Trans Mechatron，2009，14(1): 46 ［11］ Kang D W，Kim W H，Go S C，et al． Method of current com￾pensation for reducing error of holding torque of permanent-mag￾net spherical wheel motor． IEEE Trans Magn，2009，45 (6 ): 2819 ［12］ Xia C L，Song P，Li H F，et al． Research on torque calculation method of permanent-magnet spherical motor based on the finite￾element method． IEEE Trans Magn，2009，45(4): 2015 ［13］ Guo J J，Kim D H，Son H S． Effects of magnetic pole design on orientation torque for a spherical motor． IEEE ASME Trans Mechatron，2013，18(4): 1420 ［14］ Xin J G，Xia C L，Li H F，et al． Optimization design of perma￾nent magnet array for spherical motor based on analytical model． Trans China Electrotech Soc，2013，28(7): 87 (信建国，夏长亮，李洪凤，等． 基于解析模型的永磁球形电 机永磁体优化设计． 电工技术学报，2013，28(7): 87) ·803·