四足变结构机器人的运动学分析

D0I:10.13374.issn1001-053x.2012.01.010 第34卷第1期 北京科技大学学报 Vol.34 No.1 2012年1月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jan.2012 四足变结构机器人的运动学分析 陈 浩区 丁希仑 北京航空航天大学机器人研究所，北京100191 区通信作者，E-mail:howard.chenhao@qg.com 摘要对一种新型的四足变结构机器人进行了运动学分析.首先建模分析了单条腿的运动速度：然后综合考虑机器人车身 本体的运动和变形以及四条腿的运动状态，对机器人整体进行了运动学分析，提出并建立了机器人的全局速度方程：最后将 全局速度方程应用到机器人的速度分解控制中，使该控制方法的应用领域从串联机器人扩展到多足移动（串并混联）机器人， 并以变结构四足机器人的车身原地收缩运动为例，验证了这种方法的可行性 关键词四足机器人；变结构：运动学；速度控制 分类号TP242 Kinematics analysis of a quadruped robot with variable structure CHEN Hao☒，DING XE+un Institute of Robotics,Beihang University,Beijing 100191,China Corresponding author,E-mail:howard.chenhao@qcom ABSTRACT A novel quadruped robot with variable structure was analyzed by kinematic methods.First,the velocity of a single leg was studied.Then the kinematics of the whole robot was discussed,and a globe velocity equation was proposed and established with considering the transformation and motion of the robot's body and four legs.At last,the method of velocity decomposition control, which is usually used in the serial-chain manipulator control,was generalized to the legged mobile robot (serial and parallel hybrid mechanism)control through applying the globe velocity equation.The contraction of the robot's body with four feet fixed on the ground was taken as an example to demonstrate the feasibility of this approach. KEY WORDS quadruped robots:variable structure:kinematics:velocity control 四足步行机器人具有机构简单且灵活、承载能 年开始研制的四足变结构机器人是一种新型的 力强以及稳定性好等特点，在抢险救灾、探险、娱乐 轮腿结合式机器人.该机器人具有可变宽窄的车身 和军事等许多方面都有很好的应用前景，因此其设 结构，运动更加灵活，能更好地适应复杂的环境.本 计研制一直是国内外的腿式机器人研究的重点.20 文对该机器人进行了运动分析，综合考虑了腿部的 世纪60年代，四足步行机器人的研究工作开始起 运动以及车身的运动和变形，建立了该机器人的全 步.世界上第一台真正意义的四足步行机器人是由 局速度方程，并利用该方程把在串联机械臂控制中 Frank和MeGhee于1977年制作的；20世纪八九 常用的速度分解控制方法推广应用到腿式移动 十年代最具代表性的四足步行机器人是日本Shigeo 机器人的控制中. Hirose实验室研制的TITAN系列和TEKKEN系 1机器人的结构分析 列)；目前世界上最先进的四足步行机器人是美 国Boston Dynamics公司研制的BigDog,该机器人 图1和图2分别为四足变结构机器人的三维立 机动性和反应能力都很强，平衡能力极佳 体图和机构简图.该机器人的车身分为左右两部 北京航空航天大学空间机器人实验室于2007 分，左右车身之间通一对十字交叉的连杆连接，两连 收稿日期：201105-25 基金项目：国家基金重大国际合作项目(50720135503)：教育部博士点基金资助项目(200800060009)

第 34 卷 第 1 期 2012 年 1 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 34 No． 1 Jan． 2012 四足变结构机器人的运动学分析 陈 浩 丁希仑 北京航空航天大学机器人研究所，北京 100191 通信作者，E-mail: howard． chenhao@ qq． com 摘 要 对一种新型的四足变结构机器人进行了运动学分析． 首先建模分析了单条腿的运动速度; 然后综合考虑机器人车身 本体的运动和变形以及四条腿的运动状态，对机器人整体进行了运动学分析，提出并建立了机器人的全局速度方程; 最后将 全局速度方程应用到机器人的速度分解控制中，使该控制方法的应用领域从串联机器人扩展到多足移动( 串并混联) 机器人， 并以变结构四足机器人的车身原地收缩运动为例，验证了这种方法的可行性． 关键词 四足机器人; 变结构; 运动学; 速度控制 分类号 TP242 Kinematics analysis of a quadruped robot with variable structure CHEN Hao ，DING Xi-lun Institute of Robotics，Beihang University，Beijing 100191，China Corresponding author，E-mail: howard． chenhao@ qq． com ABSTRACT A novel quadruped robot with variable structure was analyzed by kinematic methods． First，the velocity of a single leg was studied． Then the kinematics of the whole robot was discussed，and a globe velocity equation was proposed and established with considering the transformation and motion of the robot’s body and four legs． At last，the method of velocity decomposition control， which is usually used in the serial-chain manipulator control，was generalized to the legged mobile robot ( serial and parallel hybrid mechanism) control through applying the globe velocity equation． The contraction of the robot’s body with four feet fixed on the ground was taken as an example to demonstrate the feasibility of this approach． KEY WORDS quadruped robots; variable structure; kinematics; velocity control 收稿日期: 2011--05--25 基金项目: 国家基金重大国际合作项目( 50720135503) ; 教育部博士点基金资助项目( 200800060009) 四足步行机器人具有机构简单且灵活、承载能 力强以及稳定性好等特点，在抢险救灾、探险、娱乐 和军事等许多方面都有很好的应用前景，因此其设 计研制一直是国内外的腿式机器人研究的重点． 20 世纪 60 年代，四足步行机器人的研究工作开始起 步． 世界上第一台真正意义的四足步行机器人是由 Frank 和 McGhee 于 1977 年制作的［1］; 20 世纪八九 十年代最具代表性的四足步行机器人是日本 Shigeo Hirose 实 验 室 研 制 的 TITAN 系 列 和 TEKKEN 系 列［2--3］; 目前世界上最先进的四足步行机器人是美 国 Boston Dynamics 公司研制的 BigDog ［4］，该机器人 机动性和反应能力都很强，平衡能力极佳． 北京航空航天大学空间机器人实验室于 2007 年开始研制的四足变结构机器人［5］是一种新型的 轮腿结合式机器人． 该机器人具有可变宽窄的车身 结构，运动更加灵活，能更好地适应复杂的环境． 本 文对该机器人进行了运动分析，综合考虑了腿部的 运动以及车身的运动和变形，建立了该机器人的全 局速度方程，并利用该方程把在串联机械臂控制中 常用的速度分解控制方法［6］推广应用到腿式移动 机器人的控制中． 1 机器人的结构分析 图 1 和图 2 分别为四足变结构机器人的三维立 体图和机构简图． 该机器人的车身分为左右两部 分，左右车身之间通一对十字交叉的连杆连接，两连 DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2012.01.010

·54 北京科技大学学报 第34卷 杆中部互相铰接在一起，前端固定，后端通过丝杠螺 当机器人腿部处于摆动状态时，摆动腿可以看作一 母分别连接到左右车身上（丝杠螺母在机构简图中 个三关节串联机构.机器人在步行过程中，腿部不 简化为滑动副)，通过控制丝杠螺母在车身上前后 断在支撑状态和抬起状态之间切换，在同一时刻，若 移动，使得交叉连杆之间的角度随之变化，左右车身 干腿处于支撑状态，另外若干腿处于抬起状态，所以 的距离也会随之增大或减小，即使得机器人的车身 总体来看，该机器人是一个空间串并混联机构 变宽或变窄. 2机器人的运动分析 2.1抬起腿的速度 机器人的抬起腿可以看作一个串联机构，具有 三个转动关节，如图3所示从上到下依次记为关节 1、关节2和关节3，因此对抬起腿进行速度分析时 可以采用串联机构速度分析的方法，先分析腿部的 雅克比矩阵，再通过雅克比矩阵计算腿部各点的 速度. 图1机器人的结构 Fig.1 Structure of the robot 图3腿部的结构图 Fig.3 Structure of the leg 如图4所示，以腿部完全伸展且垂直于车身平 图2机器人的机构简图 面为初始位置，关节2和关节3的平行轴线所构成 Fig.2 Kinematic sketch of the robot 的平面与关节1的轴线的交点记为A,以A点为坐 四条结构相同的机械腿对称安装在机器人车身 标原点，机器人前进方向为y轴正方向，车身平面的 两侧，腿部的设计模仿了四足哺乳动物（狗）的腿部 法向为z轴正方向，建立与车身固连的基坐标系 结构，自上而下分别为胯关节、大腿、膝关节、小腿和 Oxyz和与小腿固连的工件坐标系O'x'y'z'·平面 足.每条腿各有三个转动自由度，其中膝关节具有 yOz和关节2轴线的交点记为B,和关节3轴线的交 两个自由度，两个关节转轴互相垂直，可以实现大腿 点记为C,足端点记为D.在设计腿部结构参数时， 的纵摆和横摆，膝关节具有一个自由度，关节转轴与 把足端位置调整到平面yOz上，这样在初始位置A、 胯关节的第二关节转轴平行，可以实现小腿的纵摆 足部采用可更换模块化设计，可以根据地形地貌选 择不同形状和功能的足端结构，可以使机器人在各 种复杂地形下正常行走，提高机器人的环境适应能 力.图1所示的机器人采用的是轮式足端结构，适 合在平坦的地面上行走，还可以采用从动式轮滑的 50 方式前进，增加机器人的移动速度和运动效率。 从机构学上分析，该机器人为一个空间串并混 D 联机构.当机器人的腿部处于支撑状态时，支撑腿 (a) 连同车身可以看作一个并联机构，每条支撑腿是该 图4腿部的机构简图 并联机构的一条支链，车身是该并联机构的动平台： Fig.4 Kinematic sketch of the leg

北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 杆中部互相铰接在一起，前端固定，后端通过丝杠螺 母分别连接到左右车身上( 丝杠螺母在机构简图中 简化为滑动副) ，通过控制丝杠螺母在车身上前后 移动，使得交叉连杆之间的角度随之变化，左右车身 的距离也会随之增大或减小，即使得机器人的车身 变宽或变窄． 图 1 机器人的结构 Fig． 1 Structure of the robot 图 2 机器人的机构简图 Fig． 2 Kinematic sketch of the robot 四条结构相同的机械腿对称安装在机器人车身 两侧，腿部的设计模仿了四足哺乳动物( 狗) 的腿部 结构，自上而下分别为胯关节、大腿、膝关节、小腿和 足． 每条腿各有三个转动自由度，其中膝关节具有 两个自由度，两个关节转轴互相垂直，可以实现大腿 的纵摆和横摆，膝关节具有一个自由度，关节转轴与 胯关节的第二关节转轴平行，可以实现小腿的纵摆． 足部采用可更换模块化设计，可以根据地形地貌选 择不同形状和功能的足端结构，可以使机器人在各 种复杂地形下正常行走，提高机器人的环境适应能 力． 图 1 所示的机器人采用的是轮式足端结构，适 合在平坦的地面上行走，还可以采用从动式轮滑的 方式前进，增加机器人的移动速度和运动效率． 从机构学上分析，该机器人为一个空间串并混 联机构． 当机器人的腿部处于支撑状态时，支撑腿 连同车身可以看作一个并联机构，每条支撑腿是该 并联机构的一条支链，车身是该并联机构的动平台; 当机器人腿部处于摆动状态时，摆动腿可以看作一 个三关节串联机构． 机器人在步行过程中，腿部不 断在支撑状态和抬起状态之间切换，在同一时刻，若 干腿处于支撑状态，另外若干腿处于抬起状态，所以 总体来看，该机器人是一个空间串并混联机构． 2 机器人的运动分析 2. 1 抬起腿的速度 机器人的抬起腿可以看作一个串联机构，具有 三个转动关节，如图 3 所示从上到下依次记为关节 1、关节 2 和关节 3，因此对抬起腿进行速度分析时 可以采用串联机构速度分析的方法，先分析腿部的 雅克比矩阵，再通过雅克比矩阵计算腿部各点的 速度． 图 3 腿部的结构图 Fig． 3 Structure of the leg 图 4 腿部的机构简图 Fig． 4 Kinematic sketch of the leg 如图 4 所示，以腿部完全伸展且垂直于车身平 面为初始位置，关节 2 和关节 3 的平行轴线所构成 的平面与关节 1 的轴线的交点记为 A，以 A 点为坐 标原点，机器人前进方向为 y 轴正方向，车身平面的 法向为 z 轴正方向，建立与车身固连的基坐标系 Oxyz 和与小腿固连的工件坐标系 O' x' y' z'． 平面 yOz 和关节 2 轴线的交点记为 B，和关节 3 轴线的交 点记为 C，足端点记为 D． 在设计腿部结构参数时， 把足端位置调整到平面 yOz 上，这样在初始位置 A、 ·54·

第1期 陈浩等：四足变结构机器人的运动学分析 ·55· B、C和D四点共线. 2.2机器人整体的速度 设腿部的结构参数如图4(a)所示，容易得到 机器人在运动的过程中，不仅需要规划足端的 A、B、C和D各点的坐标，可以求出第i(i=1,2,3) 轨迹，也需要规划车身的轨迹，另外对于本文提到的 个关节运动的旋量专： 四足变结构机器人来说，还必须考虑到车身宽窄的 -0-] 变化.因此，有必要建立足端速度、车身运动速度、 车身变形速度和各腿关节转角速度四者之间的 式中，rArg和rc分别表示A、B和C三点在空间坐 关系 标系下的坐标，0，(i=1,2,3)表示转轴向量.本文 首先，按图5所示方法建立机器人的坐标系. 把抬起腿当成串联机构，可以得到抬起腿的空间雅 在各条腿的胯关节建立腿部的基坐标系A(i=1,2, 克比矩阵为 3,4)和工件坐标系D,坐标原点的位置和坐标轴方 J3(0)=51:专幻. (1) 向与2.1节所述相同：以机器人车身的几何中心为 式中：0=[01020]T为关节的转角向量：(i= 原点建立机器人的随动坐标系P,坐标轴方向与腿 2,3)为腿部关节转到0位置时各关节当前的运动 部坐标系相同；S为固定在地面上的空间坐标系. 旋量；如图4(b)所示，满足专2=Ad专2，专；= 图5中参数2l为点A1和点A,之间的距离，2b()为 Ad2专3，专为六维旋量专的4×4矩阵表示；Ad 点A,和点A2之间的距离，由于机器人的车身宽度 为伴随变换算子，具体运算法则见文献]. 可变，所以令其为时间t的函数.gsP~848Ab和 设当前各关节的速度向量为0=（日，82，日）T, gs如分别为各坐标系之间的坐标变换矩阵，例如gs 根据机器人空间雅克比矩阵的性质可以求出抬起小 表示从坐标系P到坐标系S的变换矩阵. 腿的广义空间速度V,网，上标S表示该速度为空 间速度，下标SD表示该速度是工件坐标系D相对 于空间坐标系S的速度，且满足V=J(0)·0.这 里的广义空间速度简称空间速度是一个六维旋量， 表示的是与小腿固连的工件坐标系的刚体运动速 度，它和常用的足端点D的速度向量v。存在如下 关系： Vo=Vso"ro D.O D.O 式中：“”为旋量的四维表示运算符，具体运算法则 图5机器人坐标系设置 可见文献B];'。为腿部关节转到0位置时足端点 Fig.5 Coordinate systems of the robot D的速度向量.由腿部正运动学的指数积公式ri= eie5erp,可以得到 机器人运动时，车身的空间速度为= gg,第i条腿的基坐标系A:相对于车身坐标系 01 P的空间速度为V%=gmgP4,由于车身的位姿gsr n=0r6=店，行幻 "r= 可以在运动轨迹规划时给出，而g,由车身结构参 03」 数l和b(t)决定，是可以人为控制的，因此把gs、 gr以及p、4,当作已知量. 01 由速度叠加关系可以得到坐标系A:相对于坐 医r6r后 r (2) 标系S的空间速度为V=V+Ad4,坐标系 D,相对于坐标系S的空间速度为，广，=户+Ad 山，综合上面两式可以得到 为统一形式，令vn=nyo,n,0]T,e4=D 001]T,J(0)=5,r6专r6专r6e4], in=ir+Adi Adesi= 0=620]T,则式(2)可以简化成= n+gm4gd+g广ipgd, (3) Jn()·0,Jn(0)称为雅克比矩阵.当腿部处于非奇 由此可以求出足端D:的线速度为 异位置时，J(0)是一个4×4的可逆矩阵 vi=Vso,'ro=

第 1 期 陈 浩等: 四足变结构机器人的运动学分析 B、C 和 D 四点共线． 设腿部的结构参数如图 4 ( a) 所示，容易得到 A、B、C 和 D 各点的坐标，可以求出第 i( i = 1，2，3) 个关节运动的旋量 ξi : ξ1 = rA × ω1 [ ] ω1 ，ξ2 = rB × ω2 [ ] ω2 ，ξ3 = rC × ω3 [ ] ω3 ． 式中，rA、rB 和 rC 分别表示 A、B 和 C 三点在空间坐 标系下的坐标，ωi ( i = 1，2，3) 表示转轴向量． 本文 把抬起腿当成串联机构，可以得到抬起腿的空间雅 克比矩阵为 JS ST ( θ) =［ξ1 ξ' 2 ξ' 3］． ( 1) 式中: θ =［θ1 θ2 θ3］T 为关节的转角向量; ξ' i ( i = 2，3) 为腿部关节转到 θ 位置时各关节当前的运动 旋量; 如 图 4 ( b) 所 示，满 足 ξ' 2 = Ade ^ ξ1θ1 ξ2，ξ' 3 = Ade ^ ξ1θ1e ^ ξ2θ2 ξ3，^ ξ 为六维旋量 ξ 的 4 × 4 矩阵表示; Ad 为伴随变换算子，具体运算法则见文献［7］． 设当前各关节的速度向量为 θ · = ( θ · 1，θ · 2，θ · 3 ) T ， 根据机器人空间雅克比矩阵的性质可以求出抬起小 腿的广义空间速度 VS SD ［8］，上标 S 表示该速度为空 间速度，下标 SD 表示该速度是工件坐标系 D 相对 于空间坐标系 S 的速度，且满足 VS SD = JS SD( θ)·θ · ． 这 里的广义空间速度简称空间速度是一个六维旋量， 表示的是与小腿固连的工件坐标系的刚体运动速 度，它和常用的足端点 D 的速度向量 vD 存在如下 关系: vD = ^ VS SD ·r' D． 式中: “^”为旋量的四维表示运算符，具体运算法则 可见文献［8］; vD 为腿部关节转到 θ 位置时足端点 D 的速度向量． 由腿部正运动学的指数积公式r' D = e ^ ξ1θ1 e ^ ξ2θ2 e ^ ξ3θ3 rD，可以得到 vD = ^ VS SD ·r' D =［^ ξ1 ^ ξ' 2 ^ ξ' 3］ θ · 1 θ · 2 θ ·            3  ·r' D = ［^ ξ1 ·r' D ^ ξ' 2 ·r' D ^ ξ' 3 ·r' D］ θ · 1 θ · 2 θ ·            3  ． ( 2) 为统一形式，令 vD =［x · D，y · D，z · D，0］T ，e4 =［0 0 0 1］T ，JD ( θ) =［^ ξ1 ·r' D ^ ξ' 2 ·r' D ^ ξ' 3 ·r' D e4］， θ · =［θ · 1 θ · 2 θ · 3 0］T ，则式( 2) 可以简化成vD = JD( θ)·θ · ，JD( θ) 称为雅克比矩阵． 当腿部处于非奇 异位置时，JD( θ) 是一个 4 × 4 的可逆矩阵． 2. 2 机器人整体的速度 机器人在运动的过程中，不仅需要规划足端的 轨迹，也需要规划车身的轨迹，另外对于本文提到的 四足变结构机器人来说，还必须考虑到车身宽窄的 变化． 因此，有必要建立足端速度、车身运动速度、 车身变形速度和各腿关节转角速度四者之间的 关系． 首先，按图 5 所示方法建立机器人的坐标系． 在各条腿的胯关节建立腿部的基坐标系 Ai ( i = 1，2， 3，4) 和工件坐标系 Di，坐标原点的位置和坐标轴方 向与 2. 1 节所述相同; 以机器人车身的几何中心为 原点建立机器人的随动坐标系 P，坐标轴方向与腿 部坐标系相同; S 为固定在地面上的空间坐标系． 图 5 中参数 2l 为点 A1 和点 A3 之间的距离，2b( t) 为 点 A1 和点 A2 之间的距离，由于机器人的车身宽度 可变，所以令其为时间 t 的函数． gSP、gPAi 、gAi Di 和 gSDi 分别为各坐标系之间的坐标变换矩阵，例如 gSP 表示从坐标系 P 到坐标系 S 的变换矩阵． 图 5 机器人坐标系设置 Fig． 5 Coordinate systems of the robot 机器 人 运 动 时，车身的空间速度为 ^ VS SP = g · SP g － 1 SP ，第 i 条腿的基坐标系 Ai 相对于车身坐标系 P 的空间速度为 ^ VS PAi = g · PAi g － 1 PAi ，由于车身的位姿 gSP 可以在运动轨迹规划时给出，而 gPAi 由车身结构参 数 l 和 b( t) 决定，是可以人为控制的，因此把 gSP、 gPAi 以及 ^ VS SP、^ VS PAi 当作已知量． 由速度叠加关系可以得到坐标系 Ai 相对于坐 标系 S 的空间速度为 ^ VS SAi = ^ VS SP + AdgSP ^ VS PAi ，坐标系 Di 相对于坐标系 S 的空间速度为，^ VS SDi = ^ VS SAi + AdgSAi ^ VS Ai Di ，综合上面两式可以得到 ^ VS SDi = ^ VS SP + AdgSP ^ VS PAi + AdgSAi ^ VS Ai Di = ^ VS SP + gSP ^ VS PAi g － 1 SP + gSAi ^ VS Ai Di g － 1 SAi ， ( 3) 由此可以求出足端 Di 的线速度为 vS Di = ^ VS SD·i r S Di = ·55·

·56 北京科技大学学报 第34卷 Vir ro+gseVengsnro+gsvingshror (4) Gpa diag(gra'gpA'gPAs'8PA) 式中，r为足端D,在坐标系S下的坐标 Jn(0=diag(J,(0,),Jm(0,),J,(0),J(0,)）: 利用坐标变换ri,=gr哈=gp8rr哈和抬起 %=》:p=GwG:24=GnnG 腿的雅克比矩阵，出=J（0,),上式可以化 式(6)是雅克比公式的推广，揭示了机器人足端速 简为 度。、车体位姿速度、车体变形速度和关节 gsrgmdD (0)0:=vo-Vir"ro-gsrVingsnro 转角速度之间的关系0，称为全局速度方程，J。(0) (5) 称为全局雅克比矩阵 写成矩阵形式为 3分解运动速度控制 GsGpAJp (0)0=V-VspTo-GsrVrGsnFo (6) 分解运动速度控制是一种常用的机器人操作臂 式中： 控制方法，指各关节电机转速相互配合以获得机器 =r)r(r,)T(r,)r(r)门： 人沿任意直角坐标轴的运动.如图6(a)所示，这种 控制方法是一种基于直角坐标的控制，可以直观方 0=〖a)r(82)r(a)r(84)T: 便地在任务空间里进行轨迹规划，不需要进行复杂 Gsp diag (gsp'gsp'gsp'8sp): 的逆运动学求解，而是用计算雅克比矩阵的逆代替 ②→口→控制器 操作臂 16 J.(e) 控制器◆机器人 速度 方程 日传感器 传感器 a) b 图6速度分解控制框图.(a)机械臂：(b)腿式机器人 Fig.6 Velocity decomposition control:(a)manipulators:(b)legged robots 利用全局速度方程，可以将分解运动速度控制 代公式计算： 的方法推广到腿式移动机器人的运动控制中.首先 X1=X(21-J+1X). 在任务直角坐标空间中规划机器人的车身运动轨迹 式中j=0,1,…,n)为迭代次数，为单位矩阵，X 和足端运动轨迹，给出车身位姿矩阵Gs和足端轨 为迭代变量，初始值取X。=J满足11-J+1X|<1. 迹向量，对于本文提到的四足变结构机器人还要 当总迭代次数n足够大时，将迭代变量X。作为J 给出车身位形矩阵G·然后，根据这些直角坐标空 的近似值.由于采样时间很小，J和J,非常接 间中的给出量计算出相应的车体位姿速度、足 近，所以进行一到两次迭代就能满足大部分精度要 端速度和车体变形速度通过全局速度方程， 求，大大降低了计算量 求出关节坐标速度0，作为控制信号传给运动控制 下面使用速度分解的控制方法来计算让机器人 器，控制关节电机运动 完成车身原地收缩动作所需要的关节运动轨迹，如 整个过程的控制框图如图6(b)所示，可以看出 图7所示.己知机器人的腿部结构参数为山1= 该控制方法在实际的机器人运动控制过程中需要实 85mm、l2=335mm和l,3=440mm,前后腿胯关节的 时计算每个采样时间的全局雅克比的逆J。(). 距离为2l=800mm.假设运动时车身姿态保持水 实际应用中存在两个问题：一是计算量较大：二是当 平，四足着地，立足点位置不变，车身的高度为H= 机器人的某一条腿处于奇异位置时，全局雅克比的 750mm,车身宽度是关于运动时间t(单位：s)的函 逆不存在.对于后者，可以在作机器人的运动轨迹 数2b=1005-cos(mt/10)],t∈0,10] 规划时绕开腿部奇异位置进行规避.对于前者，可 计算时采用的采样周期为△T=0.01s,求全局 以采用迭代法近似计算全局雅克比的逆来达到减少 雅克比的逆迭代次数为一次，即J+,=J'(21- 计算量的目的.首先，计算初始状态时机器人的全 Jk+J).图8(a）、(b)和(c)展示的是用分解速度 局雅克比J。以及它的逆J。,对于第k+1个采样时 控制和全局速度方程求出的腿1的三个关节轨迹仿 刻的机器人全局雅克比的逆J,可以用下面的迭 真计算结果.图8(d)表示用速度分解的控制方

北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 ^ VS SP ·r S Di + gSP ^ VS PAi g － 1 SP·r S Di + gSAi ^ VS Ai Di g － 1 SAi ·r S Di ． ( 4) 式中，r S Di 为足端 Di 在坐标系 S 下的坐标． 利用坐标变换 r S Di = gSAi ·r Ai Di = gSP gPAi ·r Ai Di 和抬起 腿的雅克比矩阵 ^ VS Ai Di r Ai Di = JDi ( θi ) θ · i，上式可以化 简为 gSP gPAi JDi ( θi ) θ · i = vS Di － ^ VS SP ·r S Di － gSP ^ VS PAi g － 1 SP·r S Di ， ( 5) 写成矩阵形式为 GSPGPA JD( θ) θ · = vS D － ^ VS SP ·r S D － GSP ^ VS PAG － 1 SP·r S D． ( 6) 式中: r S D = ［( r S D1 ) T ( r S D2 ) T ( r S D3 ) T ( r S D4 ) T ］T ; θ · = ［( θ · 1 ) T ( θ · 2 ) T ( θ · 3 ) T ( θ · 4 ) T ］T ; GSP = diag( gSP，gSP，gSP，gSP ) ; GPA = diag( gPA1 ，gPA2 ，gPA3 ，gPA4 ) ; JD( θ) = diag( JD1 ( θ1 ) ，JD2 ( θ2 ) ，JD3 ( θ3 ) ，JD4 ( θ4 ) ) ; vS D = r ·S D; ^ VS SP = G · SPG － 1 SP ; ^ VS PA = G · PAG － 1 PA ． 式( 6) 是雅克比公式的推广，揭示了机器人足端速 度 vS D、车体位姿速度 ^ VS SP、车体变形速度 ^ VS PA和关节 转角速度之间的关系 θ · ，称为全局速度方程，JD ( θ) 称为全局雅克比矩阵． 3 分解运动速度控制 分解运动速度控制是一种常用的机器人操作臂 控制方法，指各关节电机转速相互配合以获得机器 人沿任意直角坐标轴的运动． 如图 6( a) 所示，这种 控制方法是一种基于直角坐标的控制，可以直观方 便地在任务空间里进行轨迹规划，不需要进行复杂 的逆运动学求解，而是用计算雅克比矩阵的逆代替． 图 6 速度分解控制框图． ( a) 机械臂; ( b) 腿式机器人 Fig． 6 Velocity decomposition control: ( a) manipulators; ( b) legged robots 利用全局速度方程，可以将分解运动速度控制 的方法推广到腿式移动机器人的运动控制中． 首先 在任务直角坐标空间中规划机器人的车身运动轨迹 和足端运动轨迹，给出车身位姿矩阵 GSP和足端轨 迹向量 r S D，对于本文提到的四足变结构机器人还要 给出车身位形矩阵 GPA ． 然后，根据这些直角坐标空 间中的给出量计算出相应的车体位姿速度 ^ VS SP、足 端速度 vS D 和车体变形速度 ^ VS PA通过全局速度方程， 求出关节坐标速度 θ · ，作为控制信号传给运动控制 器，控制关节电机运动． 整个过程的控制框图如图 6( b) 所示，可以看出 该控制方法在实际的机器人运动控制过程中需要实 时计算每个采样时间的全局雅克比的逆 J － 1 D ( θ) ． 实际应用中存在两个问题: 一是计算量较大; 二是当 机器人的某一条腿处于奇异位置时，全局雅克比的 逆不存在． 对于后者，可以在作机器人的运动轨迹 规划时绕开腿部奇异位置进行规避． 对于前者，可 以采用迭代法近似计算全局雅克比的逆来达到减少 计算量的目的． 首先，计算初始状态时机器人的全 局雅克比 J0 以及它的逆 J － 1 0 ，对于第 k + 1 个采样时 刻的机器人全局雅克比的逆 J － 1 k + 1，可以用下面的迭 代公式计算: Xj + 1 = Xj ( 2I － Jk + 1Xj ) . 式中，j( j = 0，1，…，n) 为迭代次数，I 为单位矩阵，Xj 为迭代变量，初始值取 X0 = J －1 k 满足|I － Jk +1X0 | ＜ 1． 当总迭代次数 n 足够大时，将迭代变量 Xn 作为 J － 1 k + 1 的近似值． 由于采样时间很小，J － 1 k 和 J － 1 k + 1 非常接 近，所以进行一到两次迭代就能满足大部分精度要 求，大大降低了计算量． 下面使用速度分解的控制方法来计算让机器人 完成车身原地收缩动作所需要的关节运动轨迹，如 图 7 所 示． 已知机器人的腿部结构参数为 l1 = 85 mm、l2 = 335 mm 和 l3 = 440 mm，前后腿胯关节的 距离为 2l = 800 mm． 假设运动时车身姿态保持水 平，四足着地，立足点位置不变，车身的高度为 H = 750 mm，车身宽度是关于运动时间 t( 单位: s) 的函 数 2b = 100［5 － cos( πt /10) ］，t∈［0，10］． 计算时采用的采样周期为 ΔT = 0. 01 s，求全局 雅克比的逆迭代次数为一次，即 J － 1 k + 1 = J － 1 k ( 2I － Jk + 1 J － 1 k ) ． 图 8( a) 、( b) 和( c) 展示的是用分解速度 控制和全局速度方程求出的腿 1 的三个关节轨迹仿 真计算结果． 图 8 ( d) 表示用速度分解的控制方 ·56·

第1期 陈浩等：四足变结构机器人的运动学分析 ·57· 600 400 法和直接逆运动学求解的方法计算结果的相对误 差，误差表达式为 em:=1(0:-0)/01. 式中，8：为用速度分解控制方法计算的关节角度，： 为用直接求解逆运动学计算的关节角度，i为关节 的编号.可以看出用速度分解控制方法和全局速度 方程计算出的关节轨迹与直接逆运动学求解所计算 SL O, 777777777777 777777777777 出的关节轨迹之间的误差非常小，最大只达到10~5 图7车身站立原地收缩运动（单位：mm) 量级，但计算量大大减小，能满足实时运动控制的 Fig.7 Contraction of the robot's body with standing posture (unit: 需求 mm) (a) 46四 -1 -34.8 -2 -35.0 3 -352 -4 -35.4 -5 -6 -35.6 -7 -35.8 86 -36.0 62.5E (e) 62.0 61.5 61.0 60.5 600 2468 10 2 图8腿1各关节转角轨迹和关节转角误差。(a)关节1转角：(b)关节2转角：(c)关节3转角：(d)转角误差 Fig.8 Angle tracks of each joint on leg 1 and errors of joint angles:(a)angle of Joint 1:(b)angle of Joint 2:(c)angle of Joint 3:(d)errors of each joint 方法推广到足式移动机器人的运动控制当中，拓 4结论 宽了足式移动机器人控制的策略选择余地.仿真 对一种新型的四足变结构机器人进行了运动 实验结果也表明，通过全局运动方程将速度分解 学分析，提出了机器人的全局运动方程，并用仿真 控制应用到足式移动机器人后，简化了计算过程， 实验检验了该方程的正确性.全局运动方程将足 虽然会产生误差但提高了控制的时效性，总体来 式移动机器人的身体运动和腿部运动结合在一起 说是利大于弊的. 考虑，优化了运动学建模过程，将烦琐的正逆运动 为了让变结构四足机器人能够充分体现其运动 学分析和速度分析简化成一个统一的矩阵表达 灵活、适应性强的特点，后续将在步态分析、多模式 式，有利于机器人的关节运动控制和整体运动规 运动和模块化仿生结构设计等方面展开深入研究 划.这种简化可以将很多固定平台机械臂的控制 工作

第 1 期 陈 浩等: 四足变结构机器人的运动学分析 图 7 车身站立原地收缩运动( 单位: mm) Fig． 7 Contraction of the robot’s body with standing posture ( unit: mm) 法和直接逆运动学求解的方法计算结果的相对误 差，误差表达式为 erri = | ( θi － θ' i ) /θ' i | ． 式中，θi 为用速度分解控制方法计算的关节角度，θ' i 为用直接求解逆运动学计算的关节角度，i 为关节 的编号． 可以看出用速度分解控制方法和全局速度 方程计算出的关节轨迹与直接逆运动学求解所计算 出的关节轨迹之间的误差非常小，最大只达到 10 － 5 量级，但计算量大大减小，能满足实时运动控制的 需求． 图 8 腿 1 各关节转角轨迹和关节转角误差． ( a) 关节 1 转角; ( b) 关节 2 转角; ( c) 关节 3 转角; ( d) 转角误差 Fig． 8 Angle tracks of each joint on leg 1 and errors of joint angles: ( a) angle of Joint 1; ( b) angle of Joint 2; ( c) angle of Joint 3; ( d) errors of each joint 4 结论 对一种新型的四足变结构机器人进行了运动 学分析，提出了机器人的全局运动方程，并用仿真 实验检验了该方程的正确性． 全局运动方程将足 式移动机器人的身体运动和腿部运动结合在一起 考虑，优化了运动学建模过程，将烦琐的正逆运动 学分析和速度分析简化成一个统一的矩阵表达 式，有利于机器人的关节运动控制和整体运动规 划． 这种简化可以将很多固定平台机械臂的控制 方法推广到足式移动机器人的运动控制当中，拓 宽了足式移动机器人控制的策略选择余地． 仿真 实验结果也表明，通过全局运动方程将速度分解 控制应用到足式移动机器人后，简化了计算过程， 虽然会产生误差但提高了控制的时效性，总体来 说是利大于弊的． 为了让变结构四足机器人能够充分体现其运动 灵活、适应性强的特点，后续将在步态分析、多模式 运动和模块化仿生结构设计等方面展开深入研究 工作． ·57·

·58 北京科技大学学报 第34卷 参考文献 [5]Ding X L,Xu K.Design and analysis of a novel metamorphic wheel-egged rover mechanism.J Cent South Unis Nat Sci,2009, [Wang J D,Lu K Y,Xu S F,et al.Research situation and pros- 40(Suppl1):91 pect on quadruped walking robot.Manuf Autom,2009,31(2):4 (丁希仑，徐坤.一种新型变结构轮腿式机器人的设计与分 (王吉岱，卢坤媛，徐淑芬，等.四足步行机器人研究现状及展 析.中南大学学报：自然科学版，2009,40(Suppl1):91) 望.制造业自动化，2009,31(2)：4) [6]Xiong Y L,Ding H,Liu E C.Robotics.Beijing:China Machine Hirose S,Yoneda K,Tsukagoshi H.TITAN VII:quadruped walk- Press,1993 ing and manipulating robot on a steep slope /Proceedings of 1997 (熊有伦，丁汉，刘恩沧.机器人学.北京：机械工业出版社， IEEE Robotics and Automation International Conference.Albuquer- 1993) que,1997:494 7]Yu JJ,Liu X J,Ding X L,et al.The Mathematical Foundation B]Fukuoka Y,Kimura H,Hada Y,et al.Adaptive dynamic walking of Robotics and Mechanism.Beijing:China Machine Press,2008 of a quadruped robot "Tekken'on irregular terrain using a neural (于靖军，刘辛军，丁希仑，等.机器人机构学的数学基础.北 system model /Proceedings of the 2003 IEEE International Con- 京：机械工业出版社，2008) ference on Robotics Automation.Taipei,2003:2037 [8]Richard MM,Li Z X,Shankar S S.A Mathematical Introduction 4]Raibert M,Blankespoor K,Nelson G,et al.Bigdog,the rough- to Robotic Manipulation.Beijing:China Machine Press,1998 terrain quadruped robot /Proceedings of the 17th International (理查德·摩雷，李泽湘，山卡尔·萨斯特立.机器人操作的数 Federation of Automation Control.Seoul,2008:10822 学导论.北京：机械工业出版社，1998)

北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 参 考 文 献 ［1］ Wang J D，Lu K Y，Xu S F，et al． Research situation and pros￾pect on quadruped walking robot． Manuf Autom，2009，31( 2) : 4 ( 王吉岱，卢坤媛，徐淑芬，等． 四足步行机器人研究现状及展 望． 制造业自动化，2009，31( 2) : 4) ［2］ Hirose S，Yoneda K，Tsukagoshi H． TITAN Ⅶ: quadruped walk￾ing and manipulating robot on a steep slope / / Proceedings of 1997 IEEE Robotics and Automation International Conference． Albuquer￾que，1997: 494 ［3］ Fukuoka Y，Kimura H，Hada Y，et al． Adaptive dynamic walking of a quadruped robot‘Tekken’on irregular terrain using a neural system model / / Proceedings of the 2003 IEEE International Con￾ference on Robotics Automation． Taipei，2003: 2037 ［4］ Raibert M，Blankespoor K，Nelson G，et al． Bigdog，the rough￾terrain quadruped robot / / Proceedings of the 17th International Federation of Automation Control． Seoul，2008: 10822 ［5］ Ding X L，Xu K． Design and analysis of a novel metamorphic wheel-legged rover mechanism． J Cent South Univ Nat Sci，2009， 40( Suppl 1) : 91 ( 丁希仑，徐坤． 一种新型变结构轮腿式机器人的设计与分 析． 中南大学学报: 自然科学版，2009，40( Suppl 1) : 91) ［6］ Xiong Y L，Ding H，Liu E C． Robotics． Beijing: China Machine Press，1993 ( 熊有伦，丁汉，刘恩沧． 机器人学． 北京: 机械工业出版社， 1993) ［7］ Yu J J，Liu X J，Ding X L，et al． The Mathematical Foundation of Robotics and Mechanism． Beijing: China Machine Press，2008 ( 于靖军，刘辛军，丁希仑，等． 机器人机构学的数学基础． 北 京: 机械工业出版社，2008) ［8］ Richard M M，Li Z X，Shankar S S． A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation． Beijing: China Machine Press，1998 ( 理查德·摩雷，李泽湘，山卡尔·萨斯特立． 机器人操作的数 学导论． 北京: 机械工业出版社，1998) ·58·