第36卷第5期 北京科技大学学报 Vol.36 No.5 2014年5月 Journal of University of Science and Technology Beijing May 2014 考虑固壁作用力的微可压缩流体纳微米圆管流动分析 张雪龄2，朱维耀”回，蔡强，刘启鹏)，王小锋”，娄钰” 1)北京科技大学土木与环境工程学院，北京1000832)清华大学材料科学与工程学院，北京100084 3)国土资源部油气资源战略研究中心，北京100034 ☒通信作者，E-mail:weiyaook@sina.com 摘要针对流体在纳微米尺度下的流体流动规律不符合泊肃叶规律的理论依据不足的难题，研究了纳微米圆管中流体的 流动，将流体的微可压缩和固壁对流体的作用同时考虑进来，并将固壁对流体的作用采用固壁作用力的形式引入到流体力学 方程，采用涡函数流函数将方程解耦，并用正则摄动法求得一阶精度的压力和速度的解析解。结果发现：固壁作用力导致零阶 径向压力的出现，一阶压力的增强和一阶速度的降低：量纲一的体积流量偏离了不可压缩流体的体积流量，偏离效应受流体 的微可压缩性和固壁作用力的共同影响.体积流量在同尺度下偏离泊肃叶流动的流量大小随着可压缩系数和流体中和壁面 产生作用的离子浓度增大而增大，随着纳微米圆管管径减小而增大，纳微米圆管管径低于某一尺寸时，流体将不能流动.通过 研究表明：纳微米尺度下产生微尺度效应的原因是流体的微可压缩性和壁面力的共同影响. 关键词纳微米管道：固壁作用力：可压缩流：涡函数：流函数：摄动法 分类号0357.3 Analysis of weakly compressible fluid flow in nano/micro-size circular tubes considering solid wall force ZHANG Xue-ling,ZHU Wei-yao,CAI Qiang,LIU Qi-peng,WANG Xiao-feng,LOU Yu 1)School of Civil and Environmental Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)School of Material Science and Engineering,Tsinghua University,Beijing 100084,China 3)Strategie Research Center of Oil and Gas Resourees,Ministry of Land and Resourees,Beijing 100034,China Corresponding author,E-mail:weiyaook@sina.com ABSTRACT Aiming at the problem that fluid flow in nano/micro-size tubes deviates from the Hagen-Poiseuille law but the mecha- nism remains unclear to date,this paper focuses on fluid flowing in a nano/micro-size circular tube considering the weak compressibili- ty of the fluid and the tube wall action.The tube wall action was introduced into the momentum equations as a wall force,the hydrody- namic vorticity-stream equations were derived,and the first-order perturbation solutions of pressure and velocity were obtained.It is found that there exists zero-order radial pressure.Due to the influence of wall-fluid interaction,the first-order radial pressure increases and the first-order velocity decreases.The dimensionless volume flow rate deviates from an uncompressible fluid due to the compressi- bility of the fluid and the tube wall force.The deviation of the dimensionless volume flow rate from Poiseuille flow increases with the increasing of compressible coefficient and ion concentration in the liquid acted with the tube wall,and increases with the decreasing of the tube diameter.The liquid cannot flow when the tube diameter is less than a certain size.This paper reveals that the mirco-scale effect of nano/micro-size is resulted from the compressibility of the fluid and the tube wall force together. KEY WORDS nano/micro-size tubes:wall force:compressible flow:vorticity function:stream function:perturbation techniques 在纳微米孔道中的流体流动表现出微尺度效 应，即流速明显低于同尺度下的泊肃叶的流速，或者 收稿日期：2013-09-21 基金项目：国家重大基金资助项目(50934003,11372033)：教有部专项资金资助项目(FRF-MP-B12006B) DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2014.05.001:http://journals.ustb.edu.cn
第 36 卷 第 5 期 2014 年 5 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 36 No． 5 May 2014 考虑固壁作用力的微可压缩流体纳微米圆管流动分析 张雪龄1，2) ，朱维耀1) ，蔡 强2) ，刘启鹏1，3) ，王小锋1) ，娄 钰1) 1) 北京科技大学土木与环境工程学院，北京 100083 2) 清华大学材料科学与工程学院，北京 100084 3) 国土资源部油气资源战略研究中心，北京 100034 通信作者，E-mail: weiyaook@ sina． com 摘 要 针对流体在纳微米尺度下的流体流动规律不符合泊肃叶规律的理论依据不足的难题，研究了纳微米圆管中流体的 流动，将流体的微可压缩和固壁对流体的作用同时考虑进来，并将固壁对流体的作用采用固壁作用力的形式引入到流体力学 方程，采用涡函数流函数将方程解耦，并用正则摄动法求得一阶精度的压力和速度的解析解． 结果发现: 固壁作用力导致零阶 径向压力的出现，一阶压力的增强和一阶速度的降低; 量纲一的体积流量偏离了不可压缩流体的体积流量，偏离效应受流体 的微可压缩性和固壁作用力的共同影响． 体积流量在同尺度下偏离泊肃叶流动的流量大小随着可压缩系数和流体中和壁面 产生作用的离子浓度增大而增大，随着纳微米圆管管径减小而增大，纳微米圆管管径低于某一尺寸时，流体将不能流动． 通过 研究表明: 纳微米尺度下产生微尺度效应的原因是流体的微可压缩性和壁面力的共同影响． 关键词 纳微米管道; 固壁作用力; 可压缩流; 涡函数; 流函数; 摄动法 分类号 O 357. 3 Analysis of weakly compressible fluid flow in nano /micro-size circular tubes considering solid wall force ZHANG Xue-ling1，2) ，ZHU Wei-yao1) ，CAI Qiang2) ，LIU Qi-peng1，3) ，WANG Xiao-feng1) ，LOU Yu1) 1) School of Civil and Environmental Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 2) School of Material Science and Engineering，Tsinghua University，Beijing 100084，China 3) Strategic Ｒesearch Center of Oil and Gas Ｒesources，Ministry of Land and Ｒesources，Beijing 100034，China Corresponding author，E-mail: weiyaook@ sina． com ABSTＲACT Aiming at the problem that fluid flow in nano /micro-size tubes deviates from the Hagen-Poiseuille law but the mechanism remains unclear to date，this paper focuses on fluid flowing in a nano /micro-size circular tube considering the weak compressibility of the fluid and the tube wall action． The tube wall action was introduced into the momentum equations as a wall force，the hydrodynamic vorticity-stream equations were derived，and the first-order perturbation solutions of pressure and velocity were obtained． It is found that there exists zero-order radial pressure． Due to the influence of wall-fluid interaction，the first-order radial pressure increases and the first-order velocity decreases． The dimensionless volume flow rate deviates from an uncompressible fluid due to the compressibility of the fluid and the tube wall force． The deviation of the dimensionless volume flow rate from Poiseuille flow increases with the increasing of compressible coefficient and ion concentration in the liquid acted with the tube wall，and increases with the decreasing of the tube diameter． The liquid cannot flow when the tube diameter is less than a certain size． This paper reveals that the mirco-scale effect of nano /micro-size is resulted from the compressibility of the fluid and the tube wall force together． KEY WOＲDS nano /micro-size tubes; wall force; compressible flow; vorticity function; stream function; perturbation techniques 收稿日期: 2013--09--21 基金项目: 国家重大基金资助项目( 50934003，11372033) ; 教育部专项资金资助项目( FＲF-MP-B 12006B) DOI: 10． 13374 /j． issn1001--053x． 2014． 05． 001; http: / /journals． ustb． edu． cn 在纳微米孔道中的流体流动表现出微尺度效 应，即流速明显低于同尺度下的泊肃叶的流速，或者
·570 北京科技大学学报 第36卷 低于某些尺寸时流体不能流动的现象；特别是对于 分子之间的表面电势差(V),入`是流体电偶层的长 流体在低渗透率的多孔介质中的渗流，这种现象更 度.为了简化问题，将力的方程在R处进行泰勒展 加明显.近年来，很多学者从实验和理论方 开，得到 面做了大量工作，来认识这一现象及其原因.如 李洋等0通过测试蒸馏水在2.5~10μm的石英管 人哭+器6-器+哭(1是) 入 道内的流体流动规律，发现在低于2.5μm的管道 下，流体将不能流动：黄延章因提出了渗流流体概 取特殊情况入=及，令器=广，可得后=广， 念，认为边界层流体受到壁面吸附作用而流动速度 0≤r≤R.这个作用力的形式能够模拟壁面作用 低于体相流体；Liu和Li、Abtahinia和Ebrahimi 力，在r=0时最小，在r=R时最大，即越接近壁 用分子动力学方法，采用雷纳一琼斯势解释壁面一流 面，固壁作用力越大 体作用力，发现几个分子孔隙内的流体流动不再符 对控制方程进行了量纲一化处理：采用初始流 合NS方程.上述学者都强调了纳微尺度下固壁 体密度Po、压力差△P、管径R和泊肃叶质量流速 作用对流体流动的影响，但是未将固壁作用采用力 W=PoTR'AP 分别作为流体的密度、压力、空间位置 的形式来表达.一般来说，纳微米尺度下固壁作用 SuL 和质量流速的特征参量，固壁作用力的特征参量是 力有三种形式来描述：一是作用力与流体一壁面的 △P/(Lp) 距离呈指数式)；二是作用力与流体-壁面的距离 呈二次反比例关系回：三是采用离散的方法，用势 固壁 阱模型来描述作用力)，即距壁面较近处等效为最 液体 =Lr'=R.f=max 大作用力，距壁面较远处等效为最小作用力 p,K4, 纳微米尺度下除了壁面对流体的作用变得突 =Lr=0f=0P-0 =0.r=0.P=P 出，还有由于纳微米尺度下低速高压流动的特点，流 图1考虑固壁作用力的微可压缩流体的物理模型 体的微可压缩性也将不能忽略：Guo4-和Venerus Fig.1 Physical model of a weakly compressible fluid considering sol- 等6一切考虑了流体的微可压缩性，计算发现微可压 id wall action 缩性影响了流体的速度的分布.但迄今为止没有学 量纲一的状态方程、连续性方程以及引入双电 者在研究纳微米尺度流动时，将流体的微可压缩和 层作用力的动量方程如下： 壁面对流体的作用同时考虑进来，本文将填补这一 p=1+sP, (1) 空白，并将固壁对流体的作用采用固壁作用力的形 式引入到流体力学方程，研究纳微米圆管中流体流 1a(p0+(pM=0, (2) r ar 动规律，分析阐释纳微米尺度下产生微尺度效应的 根本原因 aRp(元0+v) ar 1动力学方程 -8e+8pf.+a[r⑦0]+ ar arL r ar 物理模型如图1所示建立：具有常黏度为μ的 微可压缩牛顿流体在半径为R(100nm~10um),长 ·引是小} (3) 度为L(0.001~0.01m)的纳微米圆管中定常流动， (⑦+v）-8+(r)]+ 假设流体密度是压力的线性函数，流体流动是轴向 对称的，重力作用可以忽略，管壁是不可渗透的，考 。(4) 虑为无滑移的壁面条件 本文中壁面对流体的作用力将采用第一种力的 上述方程中包含如下量纲一的参量：a=尽， 形式， rst' R:=q,= Rp-e.p= Po Ap V= 考虑流体中含有和壁面产生静电作用的离子，其中 器：器u: a,i=aP7p证k= z是流体中离子所带电荷价数，9是圆管通道内单位 zqppoL wPoR'sP 密度的流体所含的电量(C/kg),p是固壁面与流体 △PpR=RAP,E=△PK,Re= TRu 8u'L
北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 低于某些尺寸时流体不能流动的现象; 特别是对于 流体在低渗透率的多孔介质中的渗流，这种现象更 加明 显． 近 年 来，很多学者从实验［1--4］ 和 理 论 方 面［5--8］做了大量工作，来认识这一现象及其原因． 如 李洋等［4］通过测试蒸馏水在 2. 5 ～ 10 μm 的石英管 道内的流体流动规律，发现在低于 2. 5 μm 的管道 下，流体将不能流动; 黄延章［5］提出了渗流流体概 念，认为边界层流体受到壁面吸附作用而流动速度 低于体相流体; Liu 和 Li［9］、Abtahinia 和 Ebrahimi［10］ 用分子动力学方法，采用雷纳--琼斯势解释壁面--流 体作用力，发现几个分子孔隙内的流体流动不再符 合 N--S 方程． 上述学者都强调了纳微尺度下固壁 作用对流体流动的影响，但是未将固壁作用采用力 的形式来表达． 一般来说，纳微米尺度下固壁作用 力有三种形式来描述: 一是作用力与流体--壁面的 距离呈指数式［11］; 二是作用力与流体--壁面的距离 呈二次反比例关系［12］; 三是采用离散的方法，用势 阱模型来描述作用力［13］，即距壁面较近处等效为最 大作用力，距壁面较远处等效为最小作用力． 纳微米尺度下除了壁面对流体的作用变得突 出，还有由于纳微米尺度下低速高压流动的特点，流 体的微可压缩性也将不能忽略; Guo［14--15］和 Venerus 等［16--17］考虑了流体的微可压缩性，计算发现微可压 缩性影响了流体的速度的分布． 但迄今为止没有学 者在研究纳微米尺度流动时，将流体的微可压缩和 壁面对流体的作用同时考虑进来，本文将填补这一 空白，并将固壁对流体的作用采用固壁作用力的形 式引入到流体力学方程，研究纳微米圆管中流体流 动规律，分析阐释纳微米尺度下产生微尺度效应的 根本原因． 1 动力学方程 物理模型如图 1 所示建立: 具有常黏度为 μ 的 微可压缩牛顿流体在半径为 Ｒ( 100 nm ～ 10 μm) ，长 度为 L( 0. 001 ～ 0. 01 m) 的纳微米圆管中定常流动， 假设流体密度是压力的线性函数，流体流动是轴向 对称的，重力作用可以忽略，管壁是不可渗透的，考 虑为无滑移的壁面条件． 本文中壁面对流体的作用力将采用第一种力的 形式， f * f-w = zqφ λ* [ exp － ( Ｒ － r * ) λ* ] ［11］ ， 考虑流体中含有和壁面产生静电作用的离子，其中 z 是流体中离子所带电荷价数，q 是圆管通道内单位 密度的流体所含的电量( C / kg) ，φ 是固壁面与流体 分子之间的表面电势差( V) ，λ* 是流体电偶层的长 度． 为了简化问题，将力的方程在 Ｒ 处进行泰勒展 开，得到 f * f-w = zqφ λ* + zqφ λ* 2 ( r * － Ｒ) = zqφ λ* 2 r * + zqφ λ* ( 1 － Ｒ λ* ) ， 取特殊情况 λ* = Ｒ，令 zqφ λ* 2 = k* ，可得 f * f-w = k* r * ， 0≤r * ≤Ｒ． 这个作用力的形式能够模拟壁面作用 力，在 r * = 0 时最小，在 r * = Ｒ 时最大，即越接近壁 面，固壁作用力越大． 对控制方程进行了量纲一化处理: 采用初始流 体密度 ρ0、压力差 ΔP、管径 Ｒ 和泊肃叶质量流速 W = ρ0πＲ4 ΔP 8μL 分别作为流体的密度、压力、空间位置 和质量流速的特征参量，固壁作用力的特征参量是 ΔP /( Lρ) ． 图 1 考虑固壁作用力的微可压缩流体的物理模型 Fig． 1 Physical model of a weakly compressible fluid considering solid wall action 量纲一的状态方程、连续性方程以及引入双电 层作用力的动量方程如下: ρ = 1 + εP， ( 1) 1 r r ( rρU) + z ( ρV) = 0， ( 2) α3 Ｒeρ ( U U r + V U ) z = － 8 P r + 8ρff-w + α2 [ r 1 r r ( r U ] ) + α4 2 U z 2 + 1 3 α { 2 [ r 1 r r ( r U ] ) + 2 V r }z ，( 3) αＲeρ ( U V r + V V ) z = － 8 P z + [ 1 r ( r r V ) ] r + α2 2 V z 2 + 1 3 α { 2 [ z 1 r r ( r U ] ) + 2 V z 2 } ． ( 4) 上述方程中包含如下量纲一的参量: α = Ｒ L ， r = r * Ｒ ，z = z * Ｒ ，z = αz，λ = λ* Ｒ ，ρ = ρ * ρ0 ，P = P* ΔP，V = V* 8μL Ｒ2 ΔP ，U = U* 8μL Ｒ2 ΔP ，U = U α ，ff-w = f * f-w ΔP /ρL ，k = k* ΔP /ρ0ＲL = zqφρ0 L ＲΔP ，ε = ΔPκ，Ｒe = W πＲμ = ρ0Ｒ3 ΔP 8μ2 L ． · 075 ·
第5期 张雪龄等：考虑固壁作用力的微可压缩流体纳微米圆管流动分析 ·571· 其中，r、z、p、P、广、Ufk和K分别 压缩系数ε作为摄动的小参量，将密度p、P、U、V、山 有量纲的径向坐标、轴向坐标、电偶层长度、密度、压 和仙分别展开成零阶量和一阶小参量，分别对涡函 力、轴向速度、径向速度、固壁作用力、固壁作用力系 数和流函数的控制方程求零阶和一阶摄动解，通过 数和可压缩系数，rp、P、V、Ufk和K分别是量 求得的涡函数和流函数求相应的速度和压力的解 纲一的径向坐标、轴向坐标、密度、压力、轴向速度、 析解. 径向速度、固壁作用力、固壁作用力系数和可压缩 2.1零阶摄动解 系数. 零阶涡流函数的控制方程： 壁面边界条件为： U0)-￥0=0 m]+2- 0(1,z）=V(1,z）=0,0≤z≤1. (5) 进出口边界条件为： (12) P(0,0)=1,P(0,1)=0. (6) 式(3)和(4)通过流函数U=1驰和V= 是小+ie=wr 02 (13) rp dz -1业以及涡函数u=ad业-'来表达，分别得 零阶上的边界条件： rp ar az ar 8x兰=8.+是+是0+ 40,=70）=0,业1,9)=4h,（1,=0, ar ]-(-￥)， ,1,,1,）=d1,,0≤≤1： (7) dr2 P。(0,0)=1:P。(0,1)=0 (14) 8×-m)+含知品Iw+ r or 其解为 出]-a(￥-) (8) =4,9=7-2(1-)%=21-), 将式(7)对z微分，式(8)对r微分后将两式相减，得 U,=0,p=1-8)+空 (15~19) 到涡量传输方程： ((o)）+a2= 2.2一阶摄动解法 ar r ar de2 一阶摄动的涡流函数控制方程： 密器》- 2o小+： (u是+v)+(u+v)- az/ar\ar 2ae1-[出+4小 (20) 兴+v)小 av (9) dz dr r是e,)]+a= de? 两个流函数代入到涡函数。=-'中得到流 ar ai+nw-要) (21) 函数的传输方程： )+要-e+(eu出-出 一 阶上的边界条件为： 4(0,）=0,0,0,)=0(1,）=1）=0, (10) ar 流函数和涡函数的边界条件为： w,1,9）=(1,-P,0≤s1: (0》=7u0）=01,)=w1,)=0, dr P1(0,0)=1;P(0,1)=0. (22) p(1,)a(1,）=8(1,),0≤≤1.(11) 其解为： ar2 1 2求解过程 =-7aRer+a 12aRers 8 akert 1 (23) 采用正则摄动法来求解上述方程组，选取微可 se)2
第 5 期 张雪龄等: 考虑固壁作用力的微可压缩流体纳微米圆管流动分析 其中，r * 、z * 、λ* 、ρ * 、P* 、V* 、U* 、f * f-w、k* 和 κ 分别 有量纲的径向坐标、轴向坐标、电偶层长度、密度、压 力、轴向速度、径向速度、固壁作用力、固壁作用力系 数和可压缩系数，r、z、ρ、P、V、U、ff-w、k 和 κ 分别是量 纲一的径向坐标、轴向坐标、密度、压力、轴向速度、 径向速度、固壁作用力、固壁作用力系数和可压缩 系数． 壁面边界条件为: U( 0，z) = V r ( 0，z) = 0， U( 1，z) = V( 1，z) = 0，0≤z≤1． ( 5) 进出口边界条件为: P( 0，0) = 1，P( 0，1) = 0． ( 6) 式( 3 ) 和 ( 4 ) 通 过 流 函 数 U = 1 rρ ψ z 和 V = － 1 rρ ψ r 以及涡函数 ω = α2 U z － V r 来表达，分别得 8 × P r = 8ρff-w + α2 ω z + 4 3 α2 [ r 1 r r ( rU) + V ] z － α3 Ｒe ( 1 r ψ z U r － 1 r ψ r U ) z ， ( 7) 8 × P z = － 1 r r ( rw) + 4 3 α2 [ z 1 r r ( rU) + V ] z － αＲe ( 1 r ψ z V r － 1 r ψ r V ) z ． ( 8) 将式( 7) 对 z 微分，式( 8) 对 r 微分后将两式相减，得 到涡量传输方程: ( r 1 r r ( rω ) ) + α2 2 ω z 2 = αＲe ( 1 r ψ z ω r － 1 r ψ r ω z － ω r 2 ψ ) z － αＲe [ ω ( U ρ r + V ρ ) z + ρ ( r U V r + V V ) z － α2 ρ ( z U U r + V U ) ] z ． ( 9) 两个流函数代入到涡函数 ω = α2 U z － V r 中得到流 函数的传输方程: r ( r 1 r ψ ) r + α2 2 ψ z = ρωr + ( α2 U ρ z － V ρ ) r r． ( 10) 流函数和涡函数的边界条件为: ψ( 0，z) = 1 2 ，ω( 0，z) = 0，ψ r ( 1，z) = ψ( 1，z) = 0， ρ( 1，z) ω( 1，z) = 2 ψ r 2 ( 1，z) ，0≤z≤1． ( 11) 2 求解过程 采用正则摄动法来求解上述方程组，选取微可 压缩系数 ε 作为摄动的小参量，将密度 ρ、P、U、V、ψ 和 ω 分别展开成零阶量和一阶小参量，分别对涡函 数和流函数的控制方程求零阶和一阶摄动解，通过 求得的涡函数和流函数求相应的速度和压力的解 析解． 2. 1 零阶摄动解 零阶涡流函数的控制方程: [ r 1 r r ( rω0 ] ) + α2 2 ω0 z 2 = [ aＲe ( r ω0 ) r φ0 z － φ0 r ( ω0 ) r z ] ， ( 12) r [ r 1 r r ( φ0 ] ) + α2 2 φ0 z 2 = ω0 r． ( 13) 零阶上的边界条件: ψ0 ( 0，z) = 1 2 ，ω0 ( 0，z) = 0， ψ0 r ( 1，z) = ψ0 ( 1，z) = 0， ρ0 ( 1，z) ω0 ( 1，z) = 2 ψ0 r 2 ( 1，z) ，0≤z≤1; P0 ( 0，0) = 1; P0 ( 0，1) = 0． ( 14) 其解为 ω0 = 4r，φ0 = 1 2 － r ( 2 1 － r 2 ) 2 ，V0 = 2( 1 － r 2 ) ， U0 = 0，p0 = ( 1 － z) + kr2 2 ． ( 15 ～ 19) 2. 2 一阶摄动解法 一阶摄动的涡流函数控制方程: [ r 1 r r ( rω1 ] ) + α2 2 ω1 z 2 = 2αＲe( 1 － r 2 [ ) ω1 z + 4 ] r ， ( 20) r [ r 1 r r ( φ1 ] ) + α2 2 φ1 z 2 = ( r ω1 + p0ω0 － V0 p0 ) r ． ( 21) 一阶上的边界条件为: ψ1 ( 0，z) = 0，ω1 ( 0，z) = 0， ψ1 r ( 1，z) = ψ1 ( 1，z) = 0， ω1 ( 1，z) = 2 ψ1 r 2 ( 1，z) － ω0P0，0≤z≤1; P1 ( 0，0) = 1; P1 ( 0，1) = 0． ( 22) 其解为: φ1 = － 1 72αＲer8 + 1 12αＲer6 － 1 8 aＲer4 + 1 18aＲer2 + k 6 r 2 ( 1 － r 2 ) 2 ， ( 23) · 175 ·
·572 北京科技大学学报 第36卷 a=-4r1-)-3aRar3-6+2r)- 3 3结果与讨论 (24) 3.1压力分析 =-19-kP。= 由式(28)所得的压力表达式可知：压力偏离了 r ar 由进口端(z=0)到出口端(z=1)的线性降低的分 布(1-)，零阶上出现了由于固壁作用力导致的径 -19-21-)(1-z+）= r ar 向压力增加项2：在一阶上出现了由于微可压缩 性导致的轴向压力非线性降低项-ε(1-z)22,惯 ac(g-+-g）- 性作用导致的轴向压力增加项(1-z)saRe/4,黏性 作用导致的径向压力增加项ε2r2/4,以及固壁作用 (1-)-21-)1-, (25) 力导致的轴向和径向压力增加项(1-）（答+ U1=0, (26) )+ P,=-21-)2+1-)(Rc+ 为了分析不同因素导致的压力变化，图2给出 了不同情况下的纳微米圆管内量纲一的压力等值线 +)+台+ (27) 4 图，图2(a),2(b)和2(c)分别是不可压缩流体、微 可压缩流体不考虑固壁作用力以及微可压缩流体考 那么在考虑了固壁作用力的微可压缩流体在纳微米 虑固壁作用力三种情况.由图可见：图2(a)中不可 圆管内总的压力和速度解析解为： 压缩流体的压力仅仅在轴向上由进口(z=0)到出口 P=R+=1-司+号+e[-1-+ 端(z=1)线性降低.图2(b)中压力等值线图在轴 向上由进口到出口端逐渐密集，这是由于考虑了流 1-)e+1-》(合+）+ 体的微可压缩性，使压力在轴向上非线性降低：压力 还在径向上由圆管中心(r=0)到圆管壁面(r=1) r+g]+0e), (28) 逐渐增大，这是由于黏性作用导致的.图2（©）和 图2(b)变化规律基本相似，但压力在轴向和径向的 变化更大，这是由于图2(c)还考虑了固壁作用力， V=%+eW=2(1-2)（1+e-(1-z)- 增大了零阶上的径向压力，以及一阶上的轴向和径 aRe2-7㎡+2r-]+0(e),(29) 向压力.由于固壁作用力在接近壁面处更强，流体 流动时，越靠近壁面需要克服的流动阻力就越大，因 U=U。+sU+0(e2)=0. (30) 而流体在接近壁面处所受的压力就越大. 1.0 1.0 1.0 0.8 0.8 0.8 0.6 1.0 1.0 10 0.6 0.6 0.4 0.4 0.4 05 02 0.5 0.5 02 盖2 0 0 0 020.40.60.8 1.0 020.40.60.8 1.0 00.20.40.60.8 量纲一的轴向坐标，： 量纲一的轴向坐标，： 量纲一的轴向坐标，： a e 图2纳微米圆管内量纲一的压力等值线图.(a)不可压缩流体：()不考虑固壁作用力的微可压缩流体：（©）考虑固壁作用力的微可压缩 流体 Fig.2 Contour lines of dimensionless pressure fields in micro circular tubes:(a)uncompressible fluid:(b)weakly compressible fluid not consider- ing the wall force:(c)weakly compressible fluid considering the wall force
北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 ω1 = － 4r( 1 － z) － 1 3 αＲer( 3 － 6r 2 + 2r 4 ) － 2kr 3 ， ( 24) V1 = － 1 r φ1 r － V0P0 = － 1 r φ1 r － 2( 1 － r 2 ( ) 1 － z + k 2 r ) 2 = aＲe ( 1 9 r 6 － 1 2 r 4 + 1 2 r 2 － ) 1 9 － 1 3 k( 1 － r 2 ) － 2( 1 － r 2 ) ( 1 － z) ， ( 25) U1 = 0， ( 26) P1 = － 1 2 ( 1 － z) 2 + ( 1 － z ( ) 1 4 aＲe + k 6 + k 2 r ) 2 + k 8 r 4 + α2 4 r 2 ． ( 27) 那么在考虑了固壁作用力的微可压缩流体在纳微米 圆管内总的压力和速度解析解为: P = P0 + εP1 = ( 1 － z) + kr2 2 + ε [ － 1 2 ( 1 － z) 2 + ( 1 － z) 1 4 aＲe + ( 1 － z ( ) k 6 + k 2 r ) 2 + k 8 r 4 + α2 4 r ] 2 + O( ε2 ) ， ( 28) V = V0 + εV1 = 2( 1 － r 2 ( ) 1 + ε [ － ( 1 － z) － 1 36aＲe( 2 － 7r 2 + 2r 4 ) － 1 6 ] k + O( ε2 ) ， ( 29) U = U0 + εU0 + O( ε2 ) = 0． ( 30) 3 结果与讨论 3. 1 压力分析 由式( 28) 所得的压力表达式可知: 压力偏离了 由进口端( z = 0) 到出口端( z = 1) 的线性降低的分 布( 1 － z) ，零阶上出现了由于固壁作用力导致的径 向压力增加项 kr2 /2; 在一阶上出现了由于微可压缩 性导致的轴向压力非线性降低项 － ε( 1 － z) 2 /2，惯 性作用导致的轴向压力增加项( 1 － z) εaＲe /4，黏性 作用导致的径向压力增加项 εα2 r 2 /4，以及固壁作用 力导致的轴向和径向压力增加项( 1 － z ( ) k 6 + k 2 r ) 2 + k 8 r 4 ． 为了分析不同因素导致的压力变化，图 2 给出 了不同情况下的纳微米圆管内量纲一的压力等值线 图，图 2( a) ，2( b) 和 2( c) 分别是不可压缩流体、微 可压缩流体不考虑固壁作用力以及微可压缩流体考 虑固壁作用力三种情况． 由图可见: 图 2( a) 中不可 压缩流体的压力仅仅在轴向上由进口( z = 0) 到出口 端( z = 1) 线性降低． 图 2( b) 中压力等值线图在轴 向上由进口到出口端逐渐密集，这是由于考虑了流 体的微可压缩性，使压力在轴向上非线性降低; 压力 还在径向上由圆管中心( r = 0) 到圆管壁面( r = 1) 逐渐增大，这是由于黏性作用导致的． 图 2 ( c) 和 图 2( b) 变化规律基本相似，但压力在轴向和径向的 变化更大，这是由于图 2( c) 还考虑了固壁作用力， 增大了零阶上的径向压力，以及一阶上的轴向和径 向压力． 由于固壁作用力在接近壁面处更强，流体 流动时，越靠近壁面需要克服的流动阻力就越大，因 而流体在接近壁面处所受的压力就越大． 图2 纳微米圆管内量纲一的压力等值线图． ( a) 不可压缩流体; ( b) 不考虑固壁作用力的微可压缩流体; ( c) 考虑固壁作用力的微可压缩 流体 Fig． 2 Contour lines of dimensionless pressure fields in micro circular tubes: ( a) uncompressible fluid; ( b) weakly compressible fluid not considering the wall force; ( c) weakly compressible fluid considering the wall force · 275 ·
第5期 张雪龄等：考虑固壁作用力的微可压缩流体纳微米圆管流动分析 ·573· 结合式(28)可以给出压力在轴向的变化量 通过计算发现p川=o=p川-1+0(s2),说明流 △=P川，-Pme1=1+e-7+e+(传 动质量速率沿着微管轴向方向在一阶精度上恒定 + 的，即符合质量守恒定律，表明我们计算的结果是合 之)门，压力在径向上的变化量△P,=P1,1- 理的. 由式(29)所得的速度表达式可知：轴向速度在 Pm-+e1-+专+] k 可知考虑固 一阶精度解上偏离了泊肃叶流动速度的抛物线型分 壁作用力的微可压缩流体在纳微米圆管中流动 布2(1-2)，分别由可压缩性导致的轴向速度降低 时，进口到出口端的轴向压力降△P:由于受到流 -ε(1-z),由惯性作用导致的径向分布发生变化 体的微可压缩性影响而减小，由于受到惯性作用 -saRe(2-7r2+2r)/36,以及由固壁作用力导致 和固壁作用力的影响而增大；壁面到圆管中心的 的速度整体降低-εk/6. 径向压力降△P,因受到固壁作用力的影响而产 3.2.1速度等值线图 生，并且因受到流体微可压缩性和黏性作用的影 为了分析不同因素导致的速度变化，图3给出 响而增加. 了不同情况下的纳微米圆管内量纲一的速度等值线 3.2速度分析 图，图3(a)3(b)和3(c)分别是不可压缩流体，微 根据式(29)可知进口端(z=0)和出口端(z= 可压缩流体不考虑固壁作用力和微可压缩流体考虑 固壁作用力三种情况.由图可见：图3(a)中不可压 1)的体积速率分别为八0=2(1-){1+e[-1- 缩流体的速度仅仅在径向上由中心(r=0)到壁面 x2-7㎡+2)-。]}和n=21-{1+ (r=1)逐步变小：图3(b)中，速度不仅在径向上由 中心向壁面逐步变小，还在流动方向上由进口(：= s-元o2-7+2)-]},由状态方程得 0)到出口端(z=1)逐步增大；图3(c)中，速度变化 趋势和图2(b)相似，但是速度整体降低.这是由于 知密度与压力的关系p=1+EP=1+s(P。+sP,), 后两者都考虑了流体的微可压缩性，流体密度随着 所以进口端和出口端的密度分别为：pl:=o=1+ 压力从进口端到出口端逐渐降低而降低，从而体积 Rl,ao=1+s(1+空)+0(e)和pln=1+ 流速逐渐增大，且图3（©）中还考虑固壁作用力，由 于固壁力的存在，流体流动需克服来自壁面的摩擦 sP。l1=1+e2 +0(e2) 阻力，流速降低了εk(1-2)3的幅度 1.0 20 1.0 2.0 1.0 2.0 0.8 0.8 0.8 15 1.5 0.6 0.6 0.6 1.0 1.0 1.0 0.4 0.5 0.2 0.5 02 凿02 020.40.60.8 10 00 0.20.40.60.81.0 0002040.60.81.0 量纲一的轴向坐标，： 量钢一一的轴向坐标，： 量纲一的轴向坐标，： (国 四 d 图3纳微米圆管内量纲一的速度等值线图.()不可压缩流体：(b)不考虑固壁作用力的微可压缩流体：（©）考虑固壁作用力的微可压 缩流体 Fig.3 Contour lines of dimensionless velocity fields in micro circular tubes:(a)uncompressible fluid:(b)weakly compressible fluid not consider- ing the wall force:(c)weakly compressible fluid considering the wall force 3.2.2不同轴向位置速度分布 作用力的微可压缩流体，图4(b)是考虑固壁作用 为了分析微可压缩性和固壁作用力对流体在 力的微可压缩流体.由图可知：从进口端(z=0)到 纳微米圆管的速度的影响大小，图4给出了两种 出口端(z=1),两图中流体速度偏离泊肃叶速度 不同情况下不同位置处流体量纲一的速度对量纲 越来越小，当到达出口端时，图4(a)中速度在中心 一的泊肃叶速度的偏离图，图4(a)是不考虑固壁 处稍低于泊肃叶速度，在壁面处稍高于泊肃叶速
第 5 期 张雪龄等: 考虑固壁作用力的微可压缩流体纳微米圆管流动分析 结合式( 28 ) 可以给出压力在轴向的变化量 ΔPz = P | z = 0 － P | z = 1 = 1 + ε [ － 1 2 + 1 4 aＲe + ( k 6 + k 2 r ) ] 2 ，压力在径向上的变化量 ΔPr = P | r = 1 － P | r = 0 = k 2 + ε [ ( 1 － z) k 2 + k 8 + α2 ] 4 ． 可知考虑固 壁作用力的微可压缩流体在纳微米圆管中流动 时，进口到出口端的轴向压力降 ΔPz 由于受到流 体的微可压缩性影响而减小，由于受到惯性作用 和固壁作用力的影响而增大; 壁面到圆管中心的 径向压 力 降 ΔPr 因受到固壁作用力的影响而产 生，并且因受到流体微可压缩性和黏性作用的影 响而增加． 3. 2 速度分析 根据式( 29) 可知进口端( z = 0) 和出口端( z = 1) 的体积速率分别为 V | z = 0 = 2( 1 － r 2 ) { 1 + ε [ － 1 － 1 36αＲe( 2 － 7r 2 + 2r 4 ) － k ] } 6 和 V | z = 1 = 2( 1 － r 2 ) { 1 + ε [ － 1 36αＲe( 2 － 7r 2 + 2r 4 ) － k ] } 6 ，由状态方程得 知密度与压力的关系 ρ = 1 + εP = 1 + ε( P0 + εP1 ) ， 所以进口端和出口端的密度分别为: ρ | z = 0 = 1 + εP0 | z = 0 = 1 + ε ( 1 + kr2 ) 2 + O( ε2 ) 和 ρ | z = 1 = 1 + εP0 | z = 1 = 1 + ε·kr2 2 + O( ε2 ) ． 通过计算发现 ρV | z = 0 = ρV | z = 1 + O( ε2 ) ，说明流 动质量速率沿着微管轴向方向在一阶精度上恒定 的，即符合质量守恒定律，表明我们计算的结果是合 理的． 由式( 29) 所得的速度表达式可知: 轴向速度在 一阶精度解上偏离了泊肃叶流动速度的抛物线型分 布 2( 1 － r 2 ) ，分别由可压缩性导致的轴向速度降低 － ε( 1 － z) ，由惯性作用导致的径向分布发生变化 － εαＲe( 2 － 7r 2 + 2r 4 ) /36，以及由固壁作用力导致 的速度整体降低 － εk /6． 3. 2. 1 速度等值线图 为了分析不同因素导致的速度变化，图 3 给出 了不同情况下的纳微米圆管内量纲一的速度等值线 图，图 3( a) 、3( b) 和 3( c) 分别是不可压缩流体，微 可压缩流体不考虑固壁作用力和微可压缩流体考虑 固壁作用力三种情况． 由图可见: 图 3( a) 中不可压 缩流体的速度仅仅在径向上由中心( r = 0) 到壁面 ( r = 1) 逐步变小; 图 3( b) 中，速度不仅在径向上由 中心向壁面逐步变小，还在流动方向上由进口( z = 0) 到出口端( z = 1) 逐步增大; 图 3( c) 中，速度变化 趋势和图 2( b) 相似，但是速度整体降低． 这是由于 后两者都考虑了流体的微可压缩性，流体密度随着 压力从进口端到出口端逐渐降低而降低，从而体积 流速逐渐增大，且图 3( c) 中还考虑固壁作用力，由 于固壁力的存在，流体流动需克服来自壁面的摩擦 阻力，流速降低了 εk( 1 － r 2 ) /3 的幅度． 图 3 纳微米圆管内量纲一的速度等值线图． ( a) 不可压缩流体; ( b) 不考虑固壁作用力的微可压缩流体; ( c) 考虑固壁作用力的微可压 缩流体 Fig． 3 Contour lines of dimensionless velocity fields in micro circular tubes: ( a) uncompressible fluid; ( b) weakly compressible fluid not considering the wall force; ( c) weakly compressible fluid considering the wall force 3. 2. 2 不同轴向位置速度分布 为了分析微可压缩性和固壁作用力对流体在 纳微米圆管的速度的影响大小，图 4 给出了两种 不同情况下不同位置处流体量纲一的速度对量纲 一的泊肃叶速度的偏离图，图 4( a) 是不考虑固壁 作用力的微可压缩流体，图 4( b) 是考虑固壁作用 力的微可压缩流体． 由图可知: 从进口端( z = 0) 到 出口端( z = 1) ，两图中流体速度偏离泊肃叶速度 越来越小，当到达出口端时，图 4( a) 中速度在中心 处稍低于泊肃叶速度，在壁面处稍高于泊肃叶速 · 375 ·
·574 北京科技大学学报 第36卷 度，这是由于可压缩流体的惯性作用导致了速度 然低于泊肃叶速度，这是由于固壁作用力整体降 在径向分布上发生了变化；图4(b)中速度整体仍 低了速度. 0.05r (a) 0.05m 0 (b) 0 0.1 -0.1 言0.2 02 -03 一泊肃叶流动 -0.3 一泊肃叶流动 -20 一2=0 -=0.25 ·x025 0.4 2050 0.4 2=0.50 0.75 0.75 0 -2=1.00 =1.00 -05 0 0.2 04 06 08 1.0 0 0.2 04 0.6 0.8 1.0 量纲一的径向坐标，r 量纲一的径向坐标，， 图4不同轴向位置处量纲一的速度对量纲一的泊肃叶速度的偏差.()不考虑固壁作用力的微可压缩流体：(b)考虑固壁作用力的微可 压缩流体 Fig.4 Dimensionlessvelocity deviation from the Poiseuille flow at different axial locations:(a)weakly compressible fluid not considering the wall- force:(b)weakly compressible fluid considering the wall-force 3.3出口端的体积流量的影响因素 从式中可以看出量纲一的体积流量随着管径R的 对出口端的速度进行积分，得到了量纲一的体 减小而降低，随着可压缩系数K和流体中氢离子浓 积流量Q=1一：兰其中第一项1”代表泊肃叶流 度cH·的增大而降低 3.4尺度效应的影响分析 动的量纲一的体积流量，第二项代表考虑固壁作用 图5(a)和(b)给出了量纲一的体积流量Q和 力的微可压缩流体的量纲一的流量与泊肃叶流量的 管径R的关系.由图可见：管径越小，量纲一的流量 偏差，它的大小受流体的微可压缩性和固壁作用力 越小，当管径降低到某一尺度时，流量降低为0，将 的共同影响。只有考虑流体的微可压缩性时，固壁 此时的圆管管径叫做临界启动管径.图5(a)是固 作用力对纳微米圆管流动的流量偏离效应才能体现 出来；而如果不考虑固壁作用力的微可压缩性流体， 定流体中氢离子浓度cH·=3×10-5molL-,改变 可压缩性和惯性作用都不会对流量产生影响. 可压缩系数时，量纲一的体积流量与管径的关系 可以看出，可压缩系数越大，量纲一的体积流量越 根据第1节给出的k=,e-APk,得 小，流体的临界启动管径越大，当可压缩系数为0 40=一。紧m,L结合实例分析流动中各因素对 时，临界管径为0，当可压缩系数由2×10-9Pa增 大到10×10-9Pa-时，临界启动管径由0.01um增 流量的影响：考虑流体是含有H+离子的水溶液，流 大为0.6um.这是由于流体的微可压缩性对流体流 体初始密度Po=1000kgm-3,电荷数z=1,纳微米 动产生了阻力作用，可压缩性越大，对流体流动的阻 圆管是氧化硅材质的毛细玻璃管，可以和水溶液中 力越强.图5(b)是固定可压缩系数为K=4×10-9 的氢离子产生静电作用力，圆管长度L为0.1m,水 Pa,改变流体中与壁面产生作用力的氢离子的浓 溶液与氧化硅微管壁面无限接近，可以取”为 度cH,时，量纲一的体积流量与管径的关系，可以看 74mV,g是单位质量的流体所含的电量(Ckg), 出：氢离子浓度越大，量纲一的体积流量越小，流体的 9=1000W.ecH./po=6.02×103× 临界启动管径越大，当氢离子浓度由1×10-6增大到 1.602×10-9c+/1000=9.64×10cH+,Ckg, 4×10-5molL-时，临界启动管径由0.001m增大为 其中cH+是流体中H的浓度，那么 1.2m这是由于氢离子浓度越大，流体和壁面的作用 Q=1-19g 6 RPoL= 力越强，壁面作用对流体的流动阻力越大 1-1×964×103×cH·x0.074 图5(a)和(b)说明在纳微米尺度下，流体的微 6R KPoL= 尺度效应变得明显，即尺度越小，体积流量偏离同尺 1_0.119×10HL 度下泊肃叶流动的流量越大，当尺度降低到一定程 R 度，流体将不能流动，而产生这种微尺度效应的原因
北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 度，这是由于可压缩流体的惯性作用导致了速度 在径向分布上发生了变化; 图 4( b) 中速度整体仍 然低于泊肃叶速度，这是由于固壁作用力整体降 低了速度． 图 4 不同轴向位置处量纲一的速度对量纲一的泊肃叶速度的偏差． ( a) 不考虑固壁作用力的微可压缩流体; ( b) 考虑固壁作用力的微可 压缩流体 Fig． 4 Dimensionlessvelocity deviation from the Poiseuille flow at different axial locations: ( a) weakly compressible fluid not considering the wallforce; ( b) weakly compressible fluid considering the wall-force 3. 3 出口端的体积流量的影响因素 对出口端的速度进行积分，得到了量纲一的体 积流量 Q = 1 － ε·k 6 ，其中第一项“1”代表泊肃叶流 动的量纲一的体积流量，第二项代表考虑固壁作用 力的微可压缩流体的量纲一的流量与泊肃叶流量的 偏差，它的大小受流体的微可压缩性和固壁作用力 的共同影响． 只有考虑流体的微可压缩性时，固壁 作用力对纳微米圆管流动的流量偏离效应才能体现 出来; 而如果不考虑固壁作用力的微可压缩性流体， 可压缩性和惯性作用都不会对流量产生影响． 根据 第 1 节 给 出 的 k = zqφρ0 L ＲΔP ，ε = ΔPκ，得 ΔQ = － 1 6 zqφ Ｒ κρ0 L． 结合实例分析流动中各因素对 流量的影响: 考虑流体是含有 H + 离子的水溶液，流 体初始密度 ρ0 = 1000 kg·m － 3，电荷数 z = 1，纳微米 圆管是氧化硅材质的毛细玻璃管，可以和水溶液中 的氢离子产生静电作用力，圆管长度 L 为 0. 1 m，水 溶液与氧化硅微管壁面无限接近，可 以 取 φ 为 74 mV，q 是单位质量的流体所含的电量( C·kg － 1 ) ， q = 1000Na ·e·cH + /ρ0 = 6. 02 × 1023 × 1. 602 × 10 － 19·cH + /1000 = 9. 64 × 104 ·cH + ，C·kg － 1， 其中 cH + 是流体中 H + 的浓度，那么 Q = 1 － 1 6 zqφ Ｒ κρ0 L = 1 － 1 × 9. 64 × 104 × cH + × 0. 074 6Ｒ κρ0 L = 1 － 0. 119 × 104 cH + κρ0 L Ｒ ． 从式中可以看出量纲一的体积流量随着管径 Ｒ 的 减小而降低，随着可压缩系数 κ 和流体中氢离子浓 度 cH + 的增大而降低． 3. 4 尺度效应的影响分析 图 5( a) 和( b) 给出了量纲一的体积流量 Q 和 管径 Ｒ 的关系． 由图可见: 管径越小，量纲一的流量 越小，当管径降低到某一尺度时，流量降低为 0，将 此时的圆管管径叫做临界启动管径． 图 5( a) 是固 定流体中氢离子浓度 cH + = 3 × 10 － 5 mol·L － 1，改变 可压缩系数时，量纲一的体积流量与管径的关系． 可以看出，可压缩系数越大，量纲一的体积流量越 小，流体的临界启动管径越大，当可压缩系数为 0 时，临界管径为 0，当可压缩系数由 2 × 10 － 9 Pa － 1增 大到 10 × 10 － 9 Pa － 1时，临界启动管径由 0. 01 μm 增 大为 0. 6 μm． 这是由于流体的微可压缩性对流体流 动产生了阻力作用，可压缩性越大，对流体流动的阻 力越强． 图 5( b) 是固定可压缩系数为 κ = 4 × 10 － 9 Pa － 1，改变流体中与壁面产生作用力的氢离子的浓 度 cH + 时，量纲一的体积流量与管径的关系，可以看 出: 氢离子浓度越大，量纲一的体积流量越小，流体的 临界启动管径越大，当氢离子浓度由 1 × 10 － 6增大到 4 × 10 － 5 mol·L － 1时，临界启动管径由 0. 001 μm 增大为 1. 2 μm． 这是由于氢离子浓度越大，流体和壁面的作用 力越强，壁面作用对流体的流动阻力越大． 图 5( a) 和( b) 说明在纳微米尺度下，流体的微 尺度效应变得明显，即尺度越小，体积流量偏离同尺 度下泊肃叶流动的流量越大，当尺度降低到一定程 度，流体将不能流动，而产生这种微尺度效应的原因 · 475 ·
第5期 张雪龄等：考虑固壁作用力的微可压缩流体纳微米圆管流动分析 ·575· 1.0n 1.0 (a) 0.8 0 0.8 0.6 0.6 =0.泊肃叶，Q=1 0.4 k=2×109Pa 0.4 -cr=x10moL,泊素叶，-1 =4x10"Pa =Ix10-mol-L- K=6x10-"Pa =Ix10-mol-L- 0.2 K=8x10Pa 0.2 =2×10smll.- -10x10Pa 9=3x10-'mol-L =4x10mol-L- 6 4 6 8 10 纳微米圆管管径，m 钠微米圆管管径，m 图5量纲一的体积流量与纳微米圆管管径的关系.()改变可压缩系数：(b)改变固壁作用力的大小（流体中氢离子的浓度） Fig.5 Relations between volume flow rate and tube diameter:(a)change the compressible coefficient:(b)change the wall force coefficient (hydro- gen ion concentration in the fluid) 是流体的微可压缩性和壁面力的共同影响. linear filtration.Pet Explor Dev,2011,38(3)336 (李洋，雷群，刘先贵，等。微尺度下的非线性渗流特征。石 4结论 油勘探与开发，2011,38(3)：336) [5] Huang YZ.Nonlinear percolation feature in low permeability res- (1)考虑流体为微可压缩液体时，流体的可压 ervoir.Spec Oil Gas Reserv,1997,4(1):9 缩性、惯性作用和黏性作用对压强的影响不可忽略， (黄延章.低渗透油层非线性渗流特征.特种油气藏，1997,4 流体的可压缩性和惯性作用对速度分布的影响也不 (1):9) 可忽略：当考虑固壁作用力的微可压缩流体的流动 6] Gad-el-Hak M.The fluid mechanics of microdevices:the Freeman 时，除了上述因素对流动的压力和速度造成影响外， scholar lecture.J Fluids Eng,1999,121(1):5 Prada A,Civan F.Modification of Darcy's law for the threshold 还有固壁作用力导致零阶径向压力的出现以及一阶 pressure gradient.J Pet Sci Eng,1999,22(4):237 的轴向和径向压力的增强，固壁作用力还导致一阶 [8]Ho C M,Tai Y C.Micro-electro-mechanical-systems (MEMS) 速度的降低 and fluid flows.Annu Rev Fluid Mech,1998,30(1):579 (2)考虑固壁作用力的微可压缩流体在纳微米 9]Liu C,Li Z.Flow regimes and parameter dependence in 圆管中的流动，量纲一的体积流量偏离泊肃叶流动 nanochannel flows.Phys Rer E,2009,80(3):036302 的体积流量，偏离效应受到流体的微可压缩性和固 [10]Abtahinia H,Ebrahimi F.Monte Carlo study of structural orde- ring of Lennard-Jones fluids conflned in nanochannels.J Chem 壁作用力的共同影响，只有两者同时存在时，偏离效 Phs,2010,133(6):064502 应才能体现出来.偏离的大小随着纳微米圆管管径 [11]Christenson H K,Claesson P M.Direct measurements of the R减小而增大，随着可压缩系数K和流体中和壁面 force between hydrophobic surfaces in water.Adr Colloid Inter- 产生作用力的离子浓度增加而增大. face Sci,2001,91(3):391 (3)纳微米尺度下，流体的微尺度效应变得明 [12]Van Oss C J,Chaudhury M K,Good R J.Interfacial Lifshitz-van 显，即尺度越小，体积流量偏离同尺度下泊肃叶流动 der Waals and polar interactions in macroscopic systems.Chem Rem,1988,88(6):927 的流量越大，当尺度降低到一定程度，流体将不能流 3] Zhang X R,Wang W C.Square-well fluids in confined space 动.产生微尺度效应的原因是由于流体的微可压缩 with discretely attractive wall-fluid potentials:critical point shift. 性和壁面力的共同影响. Phys Rev E,2006,74(6):062601 14] Guo Z Y,Li Z X.Size effect on single-phase channel flow and 参考文献 heat transfer at microscale.Int Heat Fluid Flow,2003,24 Pascal H.Nonsteady flow through porous media in the presence of (3):284 a threshold gradient.Acta Mech,1981,39:207 [15]Guo Z Y,Wu X B.Compressibility effect on the gas flow and Pfahler J,Harley J,Bau HH,et al.Liquid and gas transport in heat transfer in a microtube.Int J Heat Mass Transfer,1997,40 small channels.AMSE DSC,1990,19:149 (13):3251 B]Beskok A,Trimmer W,Karniadakis G E.Rarefaction and com- [16]Venerus D C.Laminar capillary flow of compressible viscous flu- pressibility effects in gas microflows.J Fluids Eng,1996,118 ids.J Fluid Mech,2006,555:59 (3),448 [17]Venerus D C,Bugajsky D J.Compressible laminar flow in a 4]Li Y,Lei Q,Liu X G.et al.Characteristies of micro scale non- channel.Phys Fluids,2010,22(4):046101
第 5 期 张雪龄等: 考虑固壁作用力的微可压缩流体纳微米圆管流动分析 图 5 量纲一的体积流量与纳微米圆管管径的关系． ( a) 改变可压缩系数; ( b) 改变固壁作用力的大小( 流体中氢离子的浓度) Fig． 5 Ｒelations between volume flow rate and tube diameter: ( a) change the compressible coefficient; ( b) change the wall force coefficient ( hydrogen ion concentration in the fluid) 是流体的微可压缩性和壁面力的共同影响． 4 结论 ( 1) 考虑流体为微可压缩液体时，流体的可压 缩性、惯性作用和黏性作用对压强的影响不可忽略， 流体的可压缩性和惯性作用对速度分布的影响也不 可忽略; 当考虑固壁作用力的微可压缩流体的流动 时，除了上述因素对流动的压力和速度造成影响外， 还有固壁作用力导致零阶径向压力的出现以及一阶 的轴向和径向压力的增强，固壁作用力还导致一阶 速度的降低． ( 2) 考虑固壁作用力的微可压缩流体在纳微米 圆管中的流动，量纲一的体积流量偏离泊肃叶流动 的体积流量，偏离效应受到流体的微可压缩性和固 壁作用力的共同影响，只有两者同时存在时，偏离效 应才能体现出来． 偏离的大小随着纳微米圆管管径 Ｒ 减小而增大，随着可压缩系数 κ 和流体中和壁面 产生作用力的离子浓度增加而增大． ( 3) 纳微米尺度下，流体的微尺度效应变得明 显，即尺度越小，体积流量偏离同尺度下泊肃叶流动 的流量越大，当尺度降低到一定程度，流体将不能流 动． 产生微尺度效应的原因是由于流体的微可压缩 性和壁面力的共同影响． 参 考 文 献 ［1］ Pascal H． Nonsteady flow through porous media in the presence of a threshold gradient． Acta Mech，1981，39: 207 ［2］ Pfahler J，Harley J，Bau H H，et al． Liquid and gas transport in small channels． AMSE DSC，1990，19: 149 ［3］ Beskok A，Trimmer W，Karniadakis G E． Ｒarefaction and compressibility effects in gas microflows． J Fluids Eng，1996，118 ( 3) ，448 ［4］ Li Y，Lei Q，Liu X G，et al． Characteristics of micro scale nonlinear filtration． Pet Explor Dev，2011，38( 3) : 336 ( 李洋，雷群，刘先贵，等． 微尺度下的非线性渗流特征． 石 油勘探与开发，2011，38( 3) : 336) ［5］ Huang Y Z． Nonlinear percolation feature in low permeability reservoir． Spec Oil Gas Ｒeserv，1997，4( 1) : 9 ( 黄延章． 低渗透油层非线性渗流特征． 特种油气藏，1997，4 ( 1) : 9) ［6］ Gad-el-Hak M． The fluid mechanics of microdevices: the Freeman scholar lecture． J Fluids Eng，1999，121( 1) : 5 ［7］ Prada A，Civan F． Modification of Darcy’s law for the threshold pressure gradient． J Pet Sci Eng，1999，22( 4) : 237 ［8］ Ho C M，Tai Y C． Micro-electro-mechanical-systems ( MEMS) and fluid flows． Annu Ｒev Fluid Mech，1998，30( 1) : 579 ［9］ Liu C， Li Z． Flow regimes and parameter dependence in nanochannel flows． Phys Ｒev E，2009，80( 3) : 036302 ［10］ Abtahinia H，Ebrahimi F． Monte Carlo study of structural ordering of Lennard-Jones fluids conflned in nanochannels． J Chem Phys，2010，133( 6) : 064502 ［11］ Christenson H K，Claesson P M． Direct measurements of the force between hydrophobic surfaces in water． Adv Colloid Interface Sci，2001，91( 3) : 391 ［12］ Van Oss C J，Chaudhury M K，Good Ｒ J． Interfacial Lifshitz-van der Waals and polar interactions in macroscopic systems． Chem Ｒev，1988，88( 6) : 927 ［13］ Zhang X Ｒ，Wang W C． Square-well fluids in confined space with discretely attractive wall-fluid potentials: critical point shift． Phys Ｒev E，2006，74( 6) : 062601 ［14］ Guo Z Y，Li Z X． Size effect on single-phase channel flow and heat transfer at microscale． Int J Heat Fluid Flow，2003，24 ( 3) : 284 ［15］ Guo Z Y，Wu X B． Compressibility effect on the gas flow and heat transfer in a microtube． Int J Heat Mass Transfer，1997，40 ( 13) : 3251 ［16］ Venerus D C． Laminar capillary flow of compressible viscous fluids． J Fluid Mech，2006，555: 59 ［17］ Venerus D C，Bugajsky D J． Compressible laminar flow in a channel． Phys Fluids，2010，22( 4) : 046101 · 575 ·
