弱(局部)紧算子的不变子空间问题

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.1981.01.012 北京钢铁学院学报 1981年第1期 弱（局部）紧算子的不变子空间问题 数学教研室解基培 摘 要 本文利用Lomonosov方法证明了以下定理：若x为复无穷维Banach 空间，且B为和一非零弱（局部）紧算子T(即T将O的某弱邻城映入一弱紧 集)可交换的非数量算子，则B有一非平凡超不变子空间。 Hilbert空间或Banach空间上每个（有界线性）算子是否都有非平凡不变子空间的问 题是泛函分析中一个著名的尚未解决的基本问题。自三十年代初Von Neumann提出这个 问题以来，不少数学工作者对它进行了研究，近十来年发表了大量文章，特别于1973年， V.I.Lomonosov取得了一个引人注目的结果〔l):Banach空间上任何紧算子必有非平凡的 超不变子空间。本文对Banach空间上弱拓扑意义下的（局部）紧算子利用Lomonosov的方 法得到了相应的结果。我们知道当一个Banach空间X备有弱拓扑时就成为一个分离的局部 凸拓扑线性空间，记作X。本文中将此弱拓扑意义下的有关概念或性质均简称为“弱…”， 例如“弱连续”、“弱邻域”等等。但需注意的是：我们这里的弱紧算子一一即弱拓扑意义 下的（局部）紧算子一是指把0的某一弱邻域映入一弱紧集的线性算子。对于Banach空间 上的线性算子连续性与弱连续性是等价的〔2)，从而弱紧算子必是有界线性算子。 定理设X为一无穷维复Banach空间，T为X上一个非零弱（局部）紧算子，B为X上 非数量(nonscalar)有界线性算子，满足TB=BT,则B必有非平凡超不变子空间，特别 弱（局部）紧算子T有非平凡超不变子空间。 证明假若不然，即B只有平凡的超不变子空间{0}及X,也就是说：与B可交换的一切 有界线性算子所组成的代数A只有平凡的不变子空间{0}及X,我们将得到一个矛盾。我们 先来证明：在上述条件下，必有AB中的算子A使算子AT以1为特征值：即存在非零元素 sX满足AT可=0。 取x。中0，使T×。中0。空间Xm是分离的，故有0的弱开邻域U。及Tx。的弱开邻域 Urx。满足U,∩Urx。=中。拓扑线性空间X,是正则的，故知Txo必有弱开邻域V使7C U1x。又由T的弱连续性可知x。必有弱开邻域V。满足T(V。)CV,从而T(V。)C7,C U?x。。于是得知0生T(7),从而0使V。。 弱紧算子T把0的某个弱邻域U映入一弱紧集K二X,因而T把x。的弱开邻域x。+U映 入弱紧集Tx。+K。又由于X是局部凸的，x必有弱开凸邻域Vx。满足7x。CV。∩(x。+ *本文1980年10月3日收到。 116

北 京 铜 铁 学 院 学 报 年第 期 弱 局部 紧算子的不变子空间问题 数 学教研 室 解墓培 摘 要 本文 利用 方法证 明 了以 下定理 若 为复无 穷维 空 间 ， 且 为和 一 非零弱 局部 紧算 子 即 将 的某弱邻 域映 入 一 弱 紧 集 可交换 的非数量算 子 ， 则 有一 非平凡 超 不 变子空 间 。 空 间或 。 空 间上每个 有界线 性 算子是 否都 有非平凡不变子空 间的问 题是泛 函分析 中一个著 名的 尚未解决 的基本问题 。 自三十年代初 提 出这个 问题 以 来 ， 不少数学工作者对它进行 了研 究 ， 近 十来年发表 了大量文 章 ， 特别于 年 ， 取得 了一 个 引人注 目的结果 〔 〕 空 间上任 何 紧算子 必有非平 凡 的 超不 变子空 间 。 本文 对 空 间上弱拓扑意义下 的 局 部 紧算子利 用 的方 法得 到 了相应 的结果 。 我们 知道 当一个 空 间 备有弱拓 扑 时就 成为一个分 离的局 部 凸拓 扑线性空 间 ， 记作 ， 。 本文 中将此 弱拓扑意义下 的有关概念 或性质均简称为 “ 弱 … ” ， 例如 “ 弱连续” 、 “ 弱邻域 ” 等等 。 但需注意 的是 我们 这 里的 弱紧算子— 即弱拓扑意义 下 的 局 部 紧算子— 是 指把 。 的某一 弱邻域 映 入一 弱紧集的线 性算子 。 对于 空 间 上 的线 性算子连 续性 与弱连续性是 等价 的 〔 〕 ， 从 而弱紧算子必是 有界线性算子 。 定 理 设 为一无 穷维 复 空 间 ， 为 上一个非零弱 局 部 紧算子 ， 为 上 非数量 有界线性算子 ， 满 足 二 ， 则 必有非 平 凡超不变 子空 间 特别 弱 局部 紧算子 有非平凡超不变子空 间 。 证 明 假若不然 ， 即 只 有平凡 的超不 变子空 间 叶 及 ， 也就是 说 与 可 交换 的一切 有界线性算子所组成 的 代数 。 只 有平凡 的不变子空 间 叶 及 ， 我们 将得 到一个矛盾 。 我们 先来证明 在 上述 条件下 ， 必 有 刀 。 中的算子 使算子 以 为特 征值 即存在非 零元 素 石 满足 石二 石 。 取 。 笋 。 ， 使 、 。 笋 。 。 空 间 ， 是分 离的 ， 故 有 。 的弱开邻 域 。 及 。 的弱开 邻 域 。 满 足 。 ， 。 二 小 。 拓 扑线 性空 间 是正 则 的 ， 故 知 。 必有弱开 邻域 使 ，仁 ， 。 。 又 由 的弱连 续性可 知 。 必 有弱开 邻域 。 满 足 。 仁 从 而 。 二 ， 已 ， 。 。 于是得 知 诺而万万 ， 从 而 健 。 。 弱紧算子 把 。 的某个弱邻域 映 入一 弱紧集 ， 因而 把 。 的弱开邻域 。 十 映 入 弱 紧集 。 。 又 由于 ， 是局部凸的 ， 。 必有弱开 凸邻域 。 满 足， ， 。 已 。 。 本文 年 月 日 收到 。 DOI ：10．13374／j ．issn1001—053x．1981．01．012

U),由此得到：T(7x)CT(V,∩(x。+U)CTx,+K及T(Vx。)二T(V。)CUrx。,故 知T(7。)为弱紧集且0生T(Vx。)。 对X中任何y+0,集Ry={z:z=Ay,AEA}的闭包与弱闭包亚合〔2)。y= {z:z=Ay,AEA}为A的一个不变子空间，由假设易知豆，=X。因此，对x。的别开凸邻 域Vx。必有A中算子A,使Ay(y)∈Vx。A,是弱连续的，故存在y的一个弱开邻域U,使 A,(U,)CV,。这样我们就得到一族弱开集U,v,)，它复盖着弱紧集T(。, 于是存在一有限弱开子复盖{U,,Uy:,y:∈T(7x,),1≤i≤r。集T(7x。)是弱 紧的，又是分离的，因而它是个正规拓扑空间，故知存在一个从属于（相对拓扑意义下）弱 开复盖{Uy∩T(7x。)}1≤：的单位分解： t,2}1s,f,(2)20,盘i,(2)=,zer(pg.3) 现在我们定义一个由7x。到7x。中的（弱连续）映射： (x)=∑f,(Tx)A1(Tx),x∈7￥。。 当(Tx)>0时，Tx∈Uy1因而A:(Tx)∈Vx。。因(x)是Vx。中元素的凸组合，故知 (x)∈Vx。即弱连续映射ψ把弱闭凸集x。映入它自己。为了引用不动点原理我们考虑集 ,.A:T(V,)的弱闭凸包，亦即闭凸包C.(2)由A,T的弱紧性知，A1T(7, 为弱紧集；再由K rei n--Smulian的一个定理(2)知它的（弱）闭凸包C仍是弱紧集。集 7:,∩C一(7x。),因而7x。∩C+中.于是得知弱连续映射把非空弱紧凸集7x。∩C映入 它白已，由Schauder-Tychonoff不动点定理(2)知道必存在一个元素云∈7x。nC使 ψ()=：。7x,CV,故：≠0。今考虑由X到X中的映射A: Az=∑f1(Ta)Ay:(z),z∈X。 显然A是代数A中的线性算子，满足条件AT云=云，云≠0：即算子AT以1为特微值。 弱紧算子AT的特微子空间E:={x:ATx=x}是有限维的〔4)。由B(AT)=(AT)B知 (BE:)二上，故B在E:中必有一特征向量，其相应的特征子空间EB就是A的一个不变子 空间。B为非数量算子，故知E≠X。于是得一矛盾，这就证明了定理。 参考资料 1.B.V.JloMouocoB,O6 HaBapuaTHux IlonipocrpancTBax CexcicTea OuepaTopou,KoMMyTupyomnx c BnoJHe HeupepiBuM,yukunona- H以aHaJn.3 Hero Hpnnoxe,T.7,Bwl.3,1973,55一56或H.Radjavi- P.Rosenthal Invariant Subspaces,1973. 2.Dunford-Schwartz Linear Operators,Part 1,1958. 3.Kelley General Topology,1955. 4.A.P.Robertson-W.Robertson Topological Vector Spaces,1964. 117

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