a1(22-1)5dt 由 (212-1)2d=1(2n2-1)2-61t2(22-1)2d (22-13d-31(2r2-1m 得到 3 ∫1(2x2-15dt 1)2dt 44 1-ln√2t+ 48√2 ln(1+√2) 所以 (212-1)2dt 8.将抛物线y=x(x-a)在x∈[0,a1和x∈[a,c]的弧段分别绕x轴旋转 周后,所得到旋转体的体积相等,求c与a的关系 解 积分后化简,得到 a5-10a2c3+15ac4-6c5=0。 9.记(2)是曲线y 在x∈[0,引]的弧段绕x轴旋转一周所围成 的旋转体的体积,求常数a使得满足 V(a=lim v(s) 解由∫ = − 1 2 1 2 3 3 2 (2 1) 3 4 V a t dt π 。 由 ∫ − 1 2 1 2 3 2 (2t 1) dt ∫ = − − − 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 (2 1) 6 (2 1) 2 t t 1 t t dt =1− 3 ∫ − 1 2 1 2 3 2 (2t 1) dt ∫ − − 1 2 1 2 1 2 3 (2t 1) dt ， 得到 ∫ − 1 2 1 2 3 2 (2t 1) dt 4 1 = ∫ − − 1 2 1 2 1 2 (2 1) 4 3 t dt 8 1 ln(1 2) 16 3 2 2 2 1 ln 2 2 1 8 2 3 4 1 2 1 1 2 2 ⎟ = + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − t t − − t + t − ， 所以 ∫ = − 1 2 1 2 3 3 2 (2 1) 3 4 V a t dt π = 3 3 2 2 ln( 2 1) 4 a⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − π 。 ⒏ 将抛物线 y x = ( ) x − a 在 x ∈[0, a]和 x a ∈[ , c]的弧段分别绕 x 轴旋转 一周后，所得到旋转体的体积相等，求c与a的关系。 解 ∫ − = ∫ − ， c a a x x a dx x x a dx 2 2 0 2 2 π ( ) π ( ) 积分后化简，得到 2 10 15 6 0 5 2 3 4 5 a − a c + ac − c = 。 ⒐ 记V(ξ) 是曲线 y x x = 1+ 2 在 x ∈[ , 0 ξ]的弧段绕 x 轴旋转一周所围成 的旋转体的体积，求常数a使得满足 V a( ) = lim V( ) →+∞ 1 2 ξ ξ 。 解 由 239