从这方面也可以对定理作一些有意义的推广。 1定理的证明 首光，明确一下上面提到的积的定义及推广一个概念 定义1：{H:},2∈I是群G的一指标集子群集合，其中(I,≤)构成一良序集，那末， {h1,…hkk∈N,九：∈I,且元1≤2…≤k}=IH,称为H,元∈I,按≤的积 定义2：群G的两个子群H1,H,说是2一共轭的，如果存在σ∈2使H?=H2,其中2 是G的任一算子域。 注：除定义2外，还可以推广一些概念如： (1)2-一群的子集M的Q一中心化子Zn(M)={σ|σ∈2，且对任意m∈M,m°=m}, 特别，令2=I(G),则Z(M)=Na(M) (2)2-群的子集M一正规化子N(M)={o|o∈2，且M°=M},特别，令2=I(G), 则Na(M)=N(M).等等，也可得到关于这些概念的一些简单明显的事实及相互之间关系的 简单结论。 由Q一群的定义，不妨假定2是Ed(G)的一个子集，下面给出本文要证明的定理。 定理：设H是群G的一个子群，{H:},入∈I,是H关于2共轭的所有子群（此时I必定 是一个集合，从而必可以良序化：2,2是Ed(G)的一个对乘法封闭的子集，且.下h∈UH:, 日1 Ih∈2，那么，对任意序集，(I,≤)， 4,H>,且为G的Q-容许子群. 1 先证明两个引理· 引理1：a:a:=a1ah或a1a,其中a:∈Hxi,a∈Hi,ak∈Hk,c,∈HA1,i,, k,1,∈(I,≤) 证明：VHi,o:∈2，使Hoi=H1,从而 ajiHxia:=aH°ia,=HIi,由定理条件，. 0I.1∈2，故IHk使 ajHitas=H5=Hix 故Va,∈Hai,aak∈Hak满足aa:a;=ak 即aiai=aak 同理可证a:a;=a1ai 引理2：形如01…0k的元素，ax1∈H1,可表示为aa'1…a'k之形式，其中1{≤≤ …≤1，a{∈H,2,i{∈(I,≤)，i=1,2,…,k 证明：作集合P=心Mk,其中Mk={(11,…,Ax)川2，∈(I,≤)}，则显然按字典顺 k。1 序关系1，(P,≤1)构成一个良序集。 令G1…xk={a1…ak入：∈(I,≤)，ai∈Hi}对应于P中的元(1，，ik),则 显然，对任意无∈(I,≤)，对G中元引理2成立，任取1…ak∈G1…k,且不妨设1+1 ≤：，对某个1≤k一1，则由引理1，我们有 185从 这方面也可 以对定理 作一些有意 义 的推 广 。 定理 的证明 首先 ， 明确一下上面提到 的积 的定 义及 推广一个概 念 定 义 ， ， 之任 是 群 ‘ 的一 指标 集子群集合 ， 其中 ， 毯 构成一 良序集 ， 那末 ， 气、 ” ， “ 一 ” 之 ” 任， “ ‘ 任了 ， 且 几 粗只 … ‘ 只 界洲 称 为 ， ， 只任了 ， 按 蕊 的 积 定 义 群 的两个子群 ， ， 说 是 口一 共辆的 ， 如 果存在， 任 口使 百 ， 其 中犯 是 ‘ 的任一算子 域 。 注 除 定 义 外 ， 还可 以 推 广一些 概 念如 口一群 的子 集 的口一 中心 化子 。 五 任口 ， 巨对 任意 呀 ， “ 。 ， 特 别 ， 令口 二 ， 则 口一群 的子 集 入了一 正 规化子 抓 川 ， 呀 口 ， 且 “ 二 ， 特 别 ， 令口 ， 则 。 。 等等 ， 也可 得到 关于 这 些概 念 的一 些 简单 明 显 的事实及 相 互之 间关 系的 简单结 论 。 由口一群 的定义 ， 不妨假 定口是 的一个子 集 ， 下 面给 出本文 要 证 明 的 定理 。 定理 设 是 群 ‘ 的一 个子群 ， ， ， 元任 ， 是 关 于口共辘 的所有 子群 此 时 必定 是 一 个集合 ， 从而必可 以 良序 化 〔 〕 ， 口是 ‘ 的一 个 对乘法 封 闭 的子 集 ， 且 任 ， 只 召 ” 任 口 ， 那 么 ， 对 任意 序集 ， ， 镇 ， ， ， ， 且 为口的口一 容许 子群 汽 仁 ， 一 么 任 先 证明 两 个引理 引理 、 或 ， ， 其 中 任 ， ， 任 ， ， 任 ， ， ， 任 ， ， ， 汽， ， 几 ， ， 又 ， ， 任 ， 〔 证明 ， ， 互 任 口 ， 使 “ ‘ 二 ， 从 而 了‘万 二 万’ 二 ， ’ ‘ ， ， 由定 理条件 ， 任 口 ， 故 汪 ， 使 了 ， 吕 ， 故 ， 任 ， ， 任 满 足 了’ ， 即 同理可 证 ， ， 引理 形如 “ ， “ · 。 ， 的元 素 ， 。 任 ， 可表 示为 。 ，产 ，“ · 。 ， ‘ 之 形 式 ， 其 中叮 心镇 … 抓此 ， 。 任 ， 犷 ， ， ， 对 任 ， 戈 ， ‘ ， ， … ， 证 明 作 集 合 尸 口 ， 其 中 ， ， 一 几 久 ， 任 ， 毛 ， 则显 然按 字典顺 序 关系 共 ， 尸 ， 镇 构成一个 良序集 。 令 ， … ， … ， 只 任 ， 互 ， 显 然 ， 对任意 元任 ， ， 对 ， 中元 引理 毛只 ， ， 对某个 拭 犷共 一 ， 则 邮 理 ， “ ， ， 任 ， ， 对应于尸 中的 元 之， ， … ， 兄、 ， 则 成立 ， 任取 。 ， “ · ， 任 ‘ ， · 只 ， 且 不妨设 只 ，十 我们 有