于是g'(x)严格递减,当x∈(0,1,g(x)<g'(0)=0, 推出g(x)严格递减,当x∈(0,1],g(x)<g(0)=0,即得f(x)<0, 所以f(x)在(O0,1严格递减,f(x)<imf(x)=,x∈(0,1, 这表明,满足条件的最小的a= 七(本题10分)设f(x)在[O,1上连续,在(0,1)可导,f(0)=0,f(1)=1,证明:对任意的 三个正数a,b,c,存在三个不同的数x1∈(0,1)=1,2,3,使得 b =a+b+c。 f(x1)f(x2)f(x3) 证:对任意的三个正数a,b,C,0< <1,由连续函数介值定理, a+6+c a+b+c 彐p,q∈(0,1),p<q,使得f(p) f(q)= a+b+c +b+ 在[0,P][P,q][q,1上分别对f(x)用 Lagrange中值定理, x1∈(0,pP)x2∈(P,q)x3∈(q,1),使得 f(p)-f(0)=f(x1)P,f(q)-f(p)=f(x2)Xq-p)f(1)-f(q)=f(x3)1-q) 所以 b a+6+c f(x1)f(x2)f(x3) ⌒眼铷长搽4 于是 g (x) 严格递减，当 x  (0,1]， g (x)  g (0)  0 ， 推出 g(x) 严格递减，当 x  (0,1]， g(x)  g(0)  0 ，即得 f (x)  0， 所以 f (x) 在 (0,1] 严格递减， 2 1 ( ) lim ( ) 0     f x f x x o ， x  (0,1]， 这表明，满足条件的最小的 2 1   。 七.（本题 10 分）设 f (x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 可导， f (0)  0, f (1)  1 ，证明：对任意的 三个正数 a,b, c ，存在三个不同的数 xi (0,1),i 1,2,3 ，使得 a b c f x c f x b f x a        ( ) ( ) ( ) 1 2 3 。 证: 对任意的三个正数 a,b, c ，0  1        a b c a b a b c a ，由连续函数介值定理， p, q (0,1), p  q ，使得 a b c a b f q a b c a f p       ( )  , ( ) ， 在 [0, p],[ p, q],[q,1] 上分别对 f (x) 用 Lagrange 中值定理， (0, ), ( , ), ( ,1) x1  p x2  p q x3  q ，使得 ( ) (0) ( ) , ( ) ( ) ( )( ), (1) ( ) ( )(1 ) f p  f  f  x1 p f q  f p  f  x2 q  p f  f q  f  x3  q ， 所以 a b c f x c f x b f x a        ( ) ( ) ( ) 1 2 3 。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）