41-2x+24x2 73.12447 o(x4) 4240 所以f(“(O)2=247 四.(本题10分)求不定积分 -dx 解:原式 dx (tanx+D) d tan x (tanx-cot x)+3(tan x-cot x)+c 五(本题10分)将直线1x-1=y+1=三绕直线1:x==三旋转一周可得一个旋转曲面, 求此旋转曲面的方程。 解:设∑是所求曲面,任取P(x,y,2)∈∑,则P点由直线l上某点Q(x0,yo,=0)旋转所得, 于是由点到直线的距离公式,可得 (y-)2+(二-x)2+(x-y)2(y-=0)2+(-0-x)2+(x-y)2 又PQ⊥1,所以x-x0+y-y0+2-=0=0,利用{y0=-1-1 20= 可得xy+yz+xx+x+y+z+1=0,这就是所求的旋转曲面的方程。 六(本题10分)求使得下式成立的最小的a: 解:问题化为a>~1 n. Vn 记f(x)=1 x∈(0.,1], In(+x)x 则∫"(x)= (1+x)hn2(+x)-x hn2(1+x)1+xx2x2(1+x)h2(1+x) 记g(x)=(1+x)hn2(1+x)-x2, 则g(x)=h(1+x)+2l1+x)-2x8()2h(1+、D∠0 1+x3 ( ) 240 2447 24 1 16 7 24 11 2 1 1 2 3 4 4 e x x x x  o x            ， 所以 f e 240 2447 (0) (4)  。 四.（本题 10 分）求不定积分  dx x x 4 4 sin cos 1 。 解: 原式      d x x x dx x x tan tan (tan 1) tan sec 4 2 3 4 8  (tan x  cot x)  3(tan x  cot x)  c 3 1 3 3 。 五（本题 . 10 分）将直线 1 2 1 2 1 : x y z l      绕直线 1 1 1 : 1 x y z l   旋转一周可得一个旋转曲面， 求此旋转曲面的方程。 解：设  是所求曲面，任取 P (x, y,z)  ，则 P 点由直线 l 上某点 Q ( , , ) 0 0 0 x y z 旋转所得， 于是由点到直线的距离公式，可得 3 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 2 2 y z z x x y y  z  z  x  x  y       ， 又 1 PQ  l ，所以 x  x0  y  y0  z  z0  0 ，利用            z t y t x t 2 1 2 1 0 0 0 可得 xy  yz  zx  x  y  z 1  0 ，这就是所求的旋转曲面的方程。 六.（本题 10 分）求使得下式成立的最小的  ： , 1,2, 1 1           e n n n  解: 问题化为 n n n     , ) 1 ln(1 1  ， 记 , (0,1] 1 ln(1 ) 1 ( )     x x x f x ， 则 (1 )ln (1 ) 1 (1 )ln (1 ) 1 1 ln (1 ) 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x f x             ， 记 2 2 g(x)  (1 x)ln (1 x)  x ， 则 0 1 2ln(1 ) 2 ( ) ln (1 ) 2ln(1 ) 2 , ( ) 2             x x x g x x x x g x