中国科学技术大学《电磁学》 第二章稳恒电流 作者:叶邦角 计:其次,电子具有波粒二象性,电子的平均自由程不能用经典分子运动论的方法来计算。 按照量子理论,电子应服从泡利不相容原理,金属中的自由电子气服从费米一狄拉克统计,服从费米一狄拉克统计的电子气称 为费米电子气,对手费米电子气,即使T-0°K,N个电子也只能处在从最低能级数起的前N2个能级上,其中最高能级的能量为 费米能。金属的费米能很大,如铜的费米能ε=703eV,若把与费未能相当的温度称为费米温度,则铜的费米温度T=81000%K。 按量子理论,即使在绝对零度,电子的平均动能也很大,其平均动能ε=3e5. 在T=0°K时,费米电子气占满费米能级以下的所有的能级,而费米能级以上的能级全空着,无电子占有。当T>0时,晶格 上的原子实具有的动能为kT的数量级,在一般情况下比eF小得多。如T=300K时,kT=0.02eV。电子通过与晶格的碰撞从原 子实取得的能量不可能超过k,只有能量接近费米能的能级上的电子,才可能通过碰撞从原子实取得能量而溦发到费米能级上方 的空能级上,在外电场时,全部电子都获得加速度,但对金属导电有贡献的只是费米能级附近的能级上的电子。这些电子可以从电 场获得能量,进入能量较高的激发态能级上去,而远离费米能级的电子不参与导电,所以金属的导电性与费米能级附近的能级的多 少即能级的密度密切有关,作为修正,电子的平均速度v可用与费米能对应的费米速度v代替,而 { 另外,电子平均自由程的概念也要修正。电子是微观粒子,具有波粒二象性,所谓电子与晶格上原子实的碰撞实际上是电子 波被晶格的散射.量子力学证明,若晶体是完整的,即原子实严格固定在周期性的晶格上,电子波是不会被晶格散射的,电子的平 均自由程将为无限大,因而金属的电导率为无限大,即完整的晶体是没有电阻的。实际的晶体都有某种不完整性,它一方面来自原 子实在品格上的热振动,另一方面是因晶体中不可避免的含有杂质。原子实的振动相当于严格的周期性排列遭到某种偏离,在常温 下,原子实振动的振幅的均方很值与绝对温度成正比,从而导致电子波被原子实散射的次数与绝对温度成正比,因而自由时间与温 度成反比。由于费米能几乎与温度无关,故电导率与温度成反比,这正是实验结果所要求的。另外,严格的计算表明,按电子波散 射求得的平均自由程正好是经典理论求得的100倍,而v是v的16倍,两者结合恰好使电导率的理论值与实验值相等,解决了经 典理论值偏小的问题Ё೑⾥ᄺᡔᴃ໻ᄺlj⬉⺕ᄺNJ ㄀Ѡゴ 〇ᘦ⬉⌕ ԰㗙˖৊䙺㾦 9 䅵˗݊⃵ˈ⬉ᄤ݋⊷᳝㉦Ѡ䈵ᗻˈ⬉ᄤⱘᑇഛ㞾⬅⿟ϡ㛑⫼㒣ߚ݌ᄤ䖤ࡼ䆎ⱘᮍ⊩ᴹ䅵ㅫDŽ ᣝ✻䞣ᄤ⧚䆎ˈ⬉ᄤᑨ᳡Ң⊵߽ϡⳌᆍॳ⧚ˈ䞥ሲЁⱘ㞾⬅⬉ᄤ⇨᳡Ң䌍㉇ϔ⢘ᢝܟ㒳䅵ˈ᳡Ң䌍㉇ϔ⢘ᢝܟ㒳䅵ⱘ⬉ᄤ⇨⿄ Ў䌍㉇⬉ᄤ⇨ˈᇍ᠟䌍㉇⬉ᄤ⇨ˈेՓ T=0°KˈN Ͼ⬉ᄤгা㛑໘೼Ң᳔Ԣ㛑㑻᭄䍋ⱘࠡ N/2 Ͼ㛑㑻Ϟˈ݊Ё᳔催㛑㑻ⱘ㛑䞣Ў 䌍㉇㛑DŽ䞥ሲⱘ䌍㉇㛑ᕜ໻ˈབ䪰ⱘ䌍㉇㛑εF=7.03eVˈ㢹ᡞϢ䌍᳾㛑Ⳍᔧⱘ⏽ᑺ⿄Ў䌍㉇⏽ᑺ, ߭䪰ⱘ䌍㉇⏽ᑺ TF˙8l 000 °KDŽ ᣝ䞣ᄤ⧚䆎ˈेՓ೼㒱ᇍ䳊ᑺˈ⬉ᄤⱘᑇഛࡼ㛑гᕜ໻ˈ݊ᑇഛࡼ㛑ε=3εF/5ˊ ೼ T˙0°K ᯊˈ䌍㉇⬉ᄤ⇨ऴ⒵䌍㉇㛑㑻ҹϟⱘ᠔᳝ⱘ㛑㑻ˈ㗠䌍㉇㛑㑻ҹϞⱘ㛑㑻ܼぎⴔˈ᮴⬉ᄤऴ᳝DŽᔧ T˚0 ᯊˈ᱊Ḑ Ϟⱘॳᄤᅲ݋᳝ⱘࡼ㛑Ў kT ⱘ᭄䞣㑻ˈ೼ϔ㠀ᚙމϟ↨εFᇣᕫ໮DŽབ T˙300°K ᯊˈkT˙0ˊ026eVDŽ⬉ᄤ䗮䖛Ϣ᱊Ḑⱘ⺄ᩲҢॳ ᄤᅲপᕫⱘ㛑䞣ϡৃ㛑䍙䖛 kTˈা᳝㛑䞣᥹䖥䌍㉇㛑ⱘ㛑㑻Ϟⱘ⬉ᄤˈᠡৃ㛑䗮䖛⺄ᩲҢॳᄤᅲপᕫ㛑䞣㗠▔থࠄ䌍㉇㛑㑻Ϟᮍ ⱘぎ㛑㑻Ϟ, ೼໪⬉എᯊˈܼ䚼⬉ᄤ䛑㦋ᕫࡴ䗳ᑺˈԚᇍ䞥ሲᇐ⬉᳝䋵⤂ⱘাᰃ䌍㉇㛑㑻䰘䖥ⱘ㛑㑻Ϟⱘ⬉ᄤDŽ䖭ѯ⬉ᄤৃҹҢ⬉ എ㦋ᕫ㛑䞣ˈ䖯ܹ㛑䞣䕗催ⱘ▔থᗕ㛑㑻Ϟএˈ㗠䖰⾏䌍㉇㛑㑻ⱘ⬉ᄤϡখϢᇐ⬉ˈ᠔ҹ䞥ሲⱘᇐ⬉ᗻϢ䌍㉇㛑㑻䰘䖥ⱘ㛑㑻ⱘ໮ ᇥे㛑㑻ⱘᆚᑺᆚߛ԰ˈ᳝݇Ўׂℷˈ⬉ᄤⱘᑇഛ䗳ᑺ v ৃ⫼Ϣ䌍㉇㛑ᇍᑨⱘ䌍㉇䗳ᑺ vFҷ᳓ˈ㗠 m v F F 2ε = ঺໪ˈ⬉ᄤᑇഛ㞾⬅⿟ⱘὖᗉг㽕ׂℷDŽ⬉ᄤᰃᖂ㾖㉦ᄤˈ݋⊷᳝㉦Ѡ䈵ᗻˈ᠔䇧⬉ᄤϢ᱊ḐϞॳᄤᅲⱘ⺄ᩲᅲ䰙Ϟᰃ⬉ᄤ ⊶㹿᱊Ḑⱘᬷᇘˊ䞣ᄤ࡯ᄺ䆕ᯢˈ㢹᱊ԧᰃᅠᭈⱘˈेॳᄤᅲϹḐ೎ᅮ೼਼ᳳᗻⱘ᱊ḐϞˈ⬉ᄤ⊶ᰃϡӮ㹿᱊Ḑᬷᇘⱘˈ⬉ᄤⱘᑇ ഛ㞾⬅⿟ᇚЎ᮴䰤໻ˈ಴㗠䞥ሲⱘ⬉ᇐ⥛Ў᮴䰤໻ˈेᅠᭈⱘ᱊ԧᰃ≵᳝⬉䰏ⱘDŽᅲ䰙ⱘ᱊ԧ䛑᳝ᶤ⾡ϡᅠᭈᗻˈᅗϔᮍ䴶ᴹ㞾ॳ ᄤᅲ೼કḐϞⱘ⛁ᤃࡼ঺ ,ϔᮍ䴶ᰃ಴᱊ԧЁϡৃ䙓ܡⱘ৿᳝ᴖ䋼DŽॳᄤᅲⱘᤃࡼⳌᔧѢϹḐⱘ਼ᳳᗻᥦ߫䙁ࠄᶤ⾡أ೼ˈ行ᐌ⏽ ϟˈॳᄤᅲᤃࡼⱘᤃᐙⱘഛᮍᕜؐϢ㒱ᇍ⏽ᑺ៤ℷ↨ˈҢ㗠ᇐ㟈⬉ᄤ⊶㹿ॳᄤᅲᬷᇘⱘ⃵᭄Ϣ㒱ᇍ⏽ᑺ៤ℷ↨ˈ಴㗠㞾⬅ᯊ䯈Ϣ⏽ ᑺ៤ড↨DŽ⬅Ѣ䌍㉇㛑޴ТϢ⏽ᑺ᮴݇ˈᬙ⬉ᇐ⥛Ϣ⏽ᑺ៤ড↨ˈ䖭ℷᰃᅲ偠㒧ᵰ᠔㽕∖ⱘDŽ঺໪ˈϹḐⱘ䅵ㅫ㸼ᯢˈᣝ⬉ᄤ⊶ᬷ ᇘ∖ᕫⱘᑇഛ㞾⬅⿟ℷདᰃ㒣݌⧛䆎∖ᕫⱘ100 סˈ㗠 vFᰃ v ⱘ 16 סˈϸ㗙㒧ড়ᙄདՓ⬉ᇐ⥛ⱘ⧚䆎ؐϢᅲ偠ؐⳌㄝˈ㾷އњ㒣 ᇣⱘ䯂乬DŽأؐ䆎⧚݌