习题解答 第十一章多元多项式 习题11-1 1.设f(x1,……,xn)是数域K上的m元齐次多项式 证明:如果存在数域K上的n元多项式g(x1,…,xn)与h(x1,…,xn),使 f(x1,…,xn)=g(x1,…,xn)h(x1,…,xn) 则g(x1,…,xn)与h(x1,…,xn)也都是齐次多项式 证明设degf=m,degg=k,degh=l.令 g=9n+ + 9k hg+he 其中9,h;分别为,次齐次多项式,且9p,hq是分解中次数最低的齐次多项式,k+l=m,则 t=p+q+1 i+j=t 因此当P+q<m时∫不是齐次多项式.而p+q=k+l=m可推出p=k,q=l,因此g=9k,h=h1都 是齐次多项式 2.设f(x,y)∈K[x,引证明:如果f(x,x)=0,则x-y|f(x,y 证明设f(x,y)=∑ak(x)y,则 f(x,y)=f(x,y)-f(x,x)=∑a(x)-x y-x)La(r)(y-1+yk-2r+ k=1 因此x-y|f(x,y) 3.计算下列行列式 解:把原行列式记为Dn(x1,…,xn,a1,…,an).则 1≤ij≤ Dn(x1,…,r;,…,xi,…,xn,a1,…,an)=0,Dn(x1,…,xn,a1,…,a;…,ai,…,an)=0,￾ ✁✄✂✄☎✝✆ ✞✄✟✄✞✡✠✝☛ ☞✍✌ 11–1 1. ✎ f(x1, · · · , xn) ✏✒✑✒✓ K ✔✒✕ n ✖✒✗✒✘✒✙✒✚✒✛. ✜✣✢: ✤✒✥✒✦✒✧✒✑✒✓ K ✔✒✕ n ✖✒✙✒✚✒✛ g(x1, · · · , xn) ★ h(x1, · · · , xn), ✩ f(x1, · · · , xn) = g(x1, · · · , xn)h(x1, · · · , xn), ✪ g(x1, · · · , xn) ★ h(x1, · · · , xn) ✫✒✬✒✏✒✗✒✘✒✙✒✚✒✛. ✭✒✮: ✎ deg f = m, deg g = k, deg h = l. ✯ g = gp + gp+1 + · · · + gk, h = hq + hq+1 · · · + hl , ✰✣✱ gi , hj ✲✒✳✒✴ i, j ✘✒✗✒✘✒✙✒✚✒✛, ✵ gp, hq ✏✲✒✶✱✘✒✑✒✷✒✸✒✕✒✗✒✘✒✙✒✚✒✛, k + l = m, ✪ f = gphq + Xm t=p+q+1   X i+j=t gihj   . ✹✒✺✒✻ p + q < m ✼ f ✽✒✏✒✗✒✘✒✙✒✚✒✛. ✾ p + q = k + l = m ✿✒❀✒❁ p = k, q = l, ✹✒✺ g = gk, h = hl ✬ ✏✒✗✒✘✒✙✒✚✒✛. 2. ✎ f(x, y) ∈ K[x, y]. ✜✣✢: ✤✒✥ f(x, x) = 0, ✪ x − y | f(x, y). ✭✒✮: ✎ f(x, y) = Pn k=0 ak(x)y k , ✪ f(x, y) = f(x, y) − f(x, x) = Xn k=0 ak(x)(y k − x k ) = (y − x) Xn k=1 ak(x)(y k−1 + y k−2x + · · · + yx k−2 + x k−1 ). ✹✒✺ x − y | f(x, y). ∗3. ❂✒❃✒❄✒❅✒❆✒❅✒✛:           1 x1 − a1 1 x1 − a2 · · · 1 x1 − an 1 x2 − a1 1 x2 − a2 · · · 1 x2 − an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 xn − a1 1 xn − a2 · · · 1 xn − an           . ❇ : ❈✒❉✒❆✒❅✒✛✒❊✴ Dn(x1, · · · , xn, a1, · · · , an). ✪ Dn(x1, · · · , xn, a1, · · · , an) = G(x1, · · · , xn, a1, · · · , an) F(x1, · · · , xn, a1, · · · , an) , ✰✣✱ G ★ F ✬✒✏ x1, · · · , xn, a1, · · · , an ✕✒✙✒✚✒✛. ❋✒● F(x1, · · · , xn, a1, · · · , an) = Y 16i,j6n (xi − aj ). ❍❏■ Dn(x1, · · · , xi , · · · , xi , · · · , xn, a1, · · · , an) = 0, Dn(x1, · · · , xn, a1, · · · , ai , · · · , ai , · · · , an) = 0, · 1 ·