(a)在数学分析中,极限的定义如下:limf(x)=l当且仅当 ve∈R+)(6∈R+)Nx∈R)0<|x-a|<8→f(x)-l|k< 写出lmf(x)≠l的定义 (b)在线性代数中,我们说向量组,2,……,是线性相关的,如果 (1∈R)(32∈R)…(cn∈R)(不全为零)∧a1+c22+…+nEn=0 写出向量组1,2,…,n为线性无关的定义 习题4.1 (1)以下公式是公理吗?如果是,属于哪组公理? a)[(Px→vyPy)→P]→rPr→( Pz) (b)vyNr(Px→Pr)→(Pc→Pc) (c) rdy Pay→+彐yPyy (2)证明变元x在任何公式φ中都可以替换自己 (3)(本练习讨论公理的独立性。)证明:如果没有第二组替换公理,则其余的公理不能 证明r(x米x)→xx。提示:定义函数h:{公式}→{0,1}满足对所有的素公 式a,h(a)=1;然后将其自然地扩展到h(-a)和h(a→B)上。证明如果a为其余 公理的一个语法后承,则h(a)=1 习题42. (1)给出一个从空集M到Wryp→彐ry的一个推演。[注意:本题要求你给出推演序列, 不准使用任何元定理。] (2)假设有一个从公式集r到φ长度为n的推演序列,并且x不在r中自由出现,概括 定理告诉我们存在一个从r到wry的一个推演序列,令函数∫(n)表示该序列的长 度。找出一个函数增长速度尽可能慢的∫。 (3)(a)证明如果}a→B,则}Vra→xB (b)证明a→Ba→xB不一定总成立。(a) 在数学分析中，极限的定义如下：lim x→a f(x) = l 当且仅当 (∀ϵ ∈ R + )(∃δ ∈ R + )(∀x ∈ R)[0 <| x − a |< δ →| f(x) − l |< ϵ]。 写出 lim x→a f(x) ̸= l 的定义。 (b) 在线性代数中，我们说向量组 ⃗x1, ⃗x2, · · · , ⃗xn 是线性相关的，如果 (∃c1 ∈ R)(∃c2 ∈ R)· · ·(∃cn ∈ R)[(不全为零) ∧ c1⃗x1 + c2⃗x2 + · · · + cn⃗xn = ⃗0]。 写出向量组 ⃗x1, ⃗x2, · · · , ⃗xn 为线性无关的定义。 习题 4.1. (1) 以下公式是公理吗？如果是，属于哪组公理？ (a) [(∀xP x → ∀yP y) → P z] → [∀xP x → (∀yP y → P z)]。 (b) ∀y[∀x(P x → P x) → (P c → P c)]。 (c) ∀x∃yP xy → ∃yP yy。 (2) 证明变元 x 在任何公式 φ 中都可以替换自己。 (3) （本练习讨论公理的独立性。）证明：如果没有第二组替换公理，则其余的公理不能 证明 ∀x(x ̸≈ x) → x ̸≈ x。提示：定义函数 h : { 公式 } → {0, 1} 满足对所有的素公 式 α，h(α) = 1；然后将其自然地扩展到 h(¬α) 和 h(α → β) 上。证明如果 σ 为其余 公理的一个语法后承，则 h(σ) = 1。 习题 4.2. (1) 给出一个从空集 ∅ 到 ∀xφ → ∃xφ 的一个推演。[注意：本题要求你给出推演序列， 不准使用任何元定理。] (2) 假设有一个从公式集 Γ 到 φ 长度为 n 的推演序列，并且 x 不在 Γ 中自由出现，概括 定理告诉我们存在一个从 Γ 到 ∀xφ 的一个推演序列，令函数 f(n) 表示该序列的长 度。找出一个函数增长速度尽可能慢的 f。 (3) (a) 证明如果 ⊢ α → β，则 ⊢ ∀xα → ∀xβ。 (b) 证明 α → β |= ∀xα → ∀xβ 不一定总成立。 2