习题3.1 (0)选择一阶逻辑语言,并将下列语句转换成一阶语句。你认为推理有错误吗?为什么? (a)如果存在存在着的鬼,则鬼存在。 (b)存在着的鬼当然存在。 (c)鬼存在。 (1)假定我们的一阶语言中有一元谓词符号N和1,分别用来表示“是一个数”和“好 玩的”;二元谓词符号<表示“小于”;还有常数符号0表示数字零。将下列中文语 句转换成该一阶语言的公式。你可能会得到不同的结果,因为语句可能会有歧义。 (a)零小于所有的数 (b)要是有数好玩的话,零就好玩。 (c)没有小于零的数 (d)要是一个不好玩的数满足所有比它小的数都好玩这条性质,则它本身也好玩 (e)不存在所有数都比它小的数 (f)不存在没有数不比它小的数 (2)沿用上题的一阶语言,将下列一阶语句转换成日常的中文。 vx(Nx→Ix→vy(Ny→Iy→<y) 注意:虽然我们无法定义“日常中文”但“对所有的x,如果Nx则..”绝对不属 于日常中文 (3)假定我们的一阶语言中有二元函数符号+和,分别用来表示“加法”和“乘法” 常数符号1,2,3,4分别表示数字 四。再假定变元都代表整数 (a)将下列一阶语言的公式转换成中文语句 x)[(m){x≈2.m+1→(n){x:x≈2.m+1]l (b)将下列中文语句转换成该一阶语言的公式:“没有形如4k+3的整数是平方 和 (4)(下面的练习严格说与本节没有关系,请大家当作数学练习来做。)习题 3.1. (0) 选择一阶逻辑语言，并将下列语句转换成一阶语句。你认为推理有错误吗？为什么？ (a) 如果存在存在着的鬼，则鬼存在。 (b) 存在着的鬼当然存在。 (c) 鬼存在。 (1) 假定我们的一阶语言中有一元谓词符号 N 和 I，分别用来表示“是一个数”和“好 玩的”；二元谓词符号 < 表示“小于”；还有常数符号 0 表示数字零。将下列中文语 句转换成该一阶语言的公式。你可能会得到不同的结果，因为语句可能会有歧义。 (a) 零小于所有的数。 (b) 要是有数好玩的话，零就好玩。 (c) 没有小于零的数。 (d) 要是一个不好玩的数满足所有比它小的数都好玩这条性质，则它本身也好玩。 (e) 不存在所有数都比它小的数。 (f) 不存在没有数不比它小的数。 (2) 沿用上题的一阶语言，将下列一阶语句转换成日常的中文。 ∀x(Nx → Ix → ¬∀y(Ny → Iy → ¬x < y)). 注意：虽然我们无法定义“日常中文”但“对所有的 x, 如果 Nx 则 . . . ”绝对不属 于日常中文。 (3) 假定我们的一阶语言中有二元函数符号 + 和 ·，分别用来表示“加法”和“乘法”； 常数符号 1, 2, 3, 4 分别表示数字一、二、三、四。再假定变元都代表整数。 (a) 将下列一阶语言的公式转换成中文语句: (∀x)[(∃m)[x ≈ 2 · m + 1] → (∃n)[x · x ≈ 2 · n + 1]]。 (b) 将下列中文语句转换成该一阶语言的公式：“没有形如 4k + 3 的整数是平方 和”。 (4) （下面的练习严格说与本节没有关系，请大家当作数学练习来做。） 1