第八章 Mathematica在量子力学中的应用举例 §8.1粒子在中心力场中的运动问题 设电子与原子核的约化质量为=mM,m(m)=-2e,哈密顿量为 +(r) +F(r) (8.1.1) 其中r为粒子所处的空间位置到中心势原点的距离。利用中心势的球对称性,我们将薛定格 方程写为在球坐标中的表示 (,9.o)=(E-().o 2 ar/(sins af sine ae/sin'e ag (8.1.2) 角动量算符的定义为:L=x×p。可以证明[L,H=0,所以角动量L是守恒量,即在中心 力场中运动粒子的一个重要特征是角动量守恒。由此可以得到L2(角动量的平方)也是守 恒量在求解中心力场作用下粒子的能量本征方程时,(B,2,构成对易算符的一个完全 集 (8.1.3) 其中在球坐标中的角动量平方算符可以表示为: n080(a0)sin20 a9 薛定格方程(8.1.2)则可以写为 2urorlor (8.1.5) 波函数v/(,)与极角(-x/2≤0≤丌/2)和方位角(0≤q≤x)的关联是由算符D和 L决定的。假定满足薛定格方程的本征波函数v(,O,)可以分离变量表示为 w(r, 0, p)=R()y(0, p)=r(Do(gp(o) (8.1.6)第八章 Mathematica 在量子力学中的应用举例 §8.1 粒子在中心力场中的运动问题 设电子与原子核的约化质量为 m M m M e e + µ = , r Ze r 2 V( ) = − ，哈密顿量为 ( ) 2 (ˆ) 2 ˆ ˆ 2 2 2 2 V r V r p + ∇ = + = − µ µ = G = H . (8.1.1) 其中 r 为粒子所处的空间位置到中心势原点的距离。利用中心势的球对称性，我们将薛定格 方程写为在球坐标中的表示  ( ) =              ∂ ∂  +      ∂ ∂ ∂ ∂  +      ∂ ∂ ∂ ∂ − ψ ϑ ϕ θ θ ϕ θ µ θ θ , , sin 1 sin sin 1 2 2 2 2 2 2 2 r r r r r = (E −V(r)) ( ψ r,ϑ,ϕ). (8.1.2) 角动量算符的定义为：L x p G G G = × 。可以证明[ ，所以角动量 是守恒量，即在中心 力场中运动粒子的一个重要特征是角动量守恒。由此可以得到 ] 0 ˆ ,ˆ L H = Lˆ 2 Lˆ （角动量的平方）也是守 恒量。在求解中心力场作用下粒子的能量本征方程时，( ) Lz H L ˆ , ˆ , ˆ 2 构成对易算符的一个完全 集。        −      ∂ ∂ ∂ ∂ ≡ ∇ = 2 2 2 2 2 ˆ 1 = L r r r r ∆ . (8.1.3) 其中在球坐标中的角动量平方算符可以表示为：       ∂ ∂  +      ∂ ∂ ∂ ∂ = − 2 2 2 2 2 sin 1 sin sin 1 ˆ θ θ ϕ θ θ θ L = . (8.1.4) 薛定格方程(8.1.2)则可以写为 ψ( ) θ ϕ ( )ψ( θ ϕ µ , , , , ˆ 2 2 2 2 2 2 r E V r L r r r r  = −       −      ∂ ∂ ∂ ∂ = = ) ) − . (8.1.5) 波函数ψ(r,θ,ϕ 与极角θ（−π / 2 ≤ θ ≤ π / 2 ）和方位角ϕ (0 ≤ ϕ ≤ π ) 的关联是由算符 和 决定的。假定满足薛定格方程的本征波函数 2 Lˆ Lz ˆ ψ(r,θ,ϕ)可以分离变量表示为 ψ( ) r,θ,ϕ ≡ R(r) ( Y θ,ϕ) ≡ R(r)Θ(ϑ)Φ(ϕ). (8.1.6)