L.在球坐标系中可以表示为:L=一i0,该算符的本征值由求解本征方程 i。Φ()=L(p), (8.1.7) 来得到。方程(8.1.7)的解为 Φ(q)=Ael2/h (8.18) 由于(8.1.8)式所示波函数解必须唯一确定,因而它也必定满足条件:Φ()=(2n+q), 并且角动量算符L的本征值应当是离散的,其本征值表示为:L:=mh,(m=0,±1,±2,) 由本征波函数的归一化条件,方程(8.1.7)归一化的解可以写为 d(p)= (8.1.9 类似地,对另一个守恒量角动量平方,我们有本征方程: i(.o)=-h2 H(O,q)=L2y(0,) (8.1.10) sinb0日 a0) sin ag 方程(8.110)的解是球谐函数Ym如果本征值满足L2=(+1)h2,方程(8.1.10)写为 +1(+1)}() (8.1.11) sin 80 角动量算符一作用在球谐函数m上的本征值由角量子数l=012决定。对应于确定的 角量子数/,算符L2的本征值则为l(+1)h2,此时磁量子数m则描写该角动量在二轴上的 投影,它的取值范围为:m=0,±1,±2,,+。这就是说:对确定的角动量量子数l,应当 有2+1个本征函数Y。对磁量子数m为正时的情况,球谐函数的完整表达式为 Yn(O,q)=(-) +m)4r P(cose le imp (8.1.12) 其中P(x)为阶的第m个伴随勒让德函数。如果磁量子数为负时(-m),其球谐函数满 足如下关系式Lz ˆ 在球坐标系中可以表示为： ∂ϕ ∂ Lz = −i= ˆ . 该算符的本征值由求解本征方程 ( ) ϕ (ϕ) ϕ Φ = Φ ∂ ∂ − Lz i= ， (8.1.7) 来得到。方程（8.1.7）的解为 ( ) ϕ / = ϕ z iL Φ = Ae . (8.1.8) 由于（8.1.8）式所示波函数解必须唯一确定，因而它也必定满足条件：Φ( ) ϕ = Φ(2π +ϕ)， 并且角动量算符 的本征值应当是离散的，其本征值表示为：L Lz ˆ z = m= ，( . 由本征波函数的归一化条件，方程（8.1.7）归一化的解可以写为 m = 0,±1,±2,...) ( ) ϕ π ϕ im e 2 1 Φ = . (8.1.9) 类似地，对另一个守恒量-角动量平方，我们有本征方程： ( ) ( ) θ ϕ (θ ϕ θ θ ϕ θ θ θ θ ϕ , , sin 1 sin sin 1 , ˆ 2 2 2 2 2 2 L Y Y = L Y       ∂ ∂  +      ∂ ∂ ∂ ∂ = −= ). (8.1.10) 方程(8.1.10)的解是球谐函数Y 。如果本征值满足 L ，方程(8.1.10)写为 l,m 2 2 = l(l +1)= ( 1) ( ) , 0 sin 1 sin sin 1 2 , 2 2 =     + + ∂ ∂  +      ∂ ∂ ∂ ∂ θ ϕ θ θ ϕ θ θ θ Yl m  l l  . (8.1.11) 角动量算符 Lˆ2 作用在球谐函数Yl,m 上的本征值由角量子数l = 0,1,2,... m 决定。对应于确定的 角量子数l ，算符 的本征值则为l ，此时磁量子数 则描写该角动量在 轴上的 投影，它的取值范围为： 2 Lˆ 2 (l +1)= l z m = 0,±1,±2,...,± m 。这就是说：对确定的角动量量子数 ，应当 有 个本征函数Y 。对磁量子数 为正时的情况，球谐函数的完整表达式为 l 2l +1 l,m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ θ π θ ϕ m im l m l m P e l l m l m cos 4 2 1 ! ! , , 1 + + − Y = − . (8.1.12) 其中 P (x)为l 阶的第 个伴随勒让德函数。如果磁量子数为负时（ m l m − m ），其球谐函数满 足如下关系式