(,)=(-y 20) (8.1.13) 显然,球谐函数m也是算符L的本征函数。容易证明类似(⑧.1.7)式,球谱函数Y满足: (8.1.14) 因而球谐函数Y既是角动量算符平方L2,也是角动量算符的二分量L的本征函数。在 Mathematica中球谐函数表示为 SphericalHarmonicY]。勒让德多项式表示为 Legendre[] 将(8.1.6)式代入薛定格方程(8.1.2),再应用上面推导出的角动量部分波函数所满 足的薛定格方程,可以得到本征波函数v(r,,)表示中的径向部分R()应当满足的方程 dr 2 dR (8.1.15) 下面我们以氢原子为例进行分析。定义波尔半径a=≈529×10-1m为长度单位,即 p=r/a;以氢原子的电离能量E0=2a0h 4-≈13.5e为能量单位,即E=E/E0;定 义径向函数R(p)=l(p)/p。这时方程(8.1.15)写为 dap)++22 (p)=0 (8.1.16) 能量E的值是由方程(8.1.16)的本征值和本征函数决定的。 我们考虑稳定状态(束缚态),即E<0的状态。分析表明函数()可以表示为多项式 或者指数形式。为了找出l(p)的近似式,我们通过考察它在r→0和r→>∞时的极限行 为,发现由波函数的幺正性条件要求上述两种表达方式下都可以推出 u(p)=pef,(p). (8.1.17 将(8.1.17)式代入(81.16)后,求解得到超几何函数(F)形式的解。 ()=c1F{1+1-2,1+22m (8.1.18)( ) ( ) ( ) ( ) θ ϕ (θ ,ϕ ! ! , 1 * , l, m m l m Y l m l m + − = − − Y ) . (8.1.13) 显然，球谐函数Y 也是算符 的本征函数。容易证明类似(8.1.7)式，球谐函数Y 满足： l,m Lz ˆ l,m z l m Yl m m Yl m L Y i , , , ˆ = = = ∂ ∂ ≡ − ϕ . (8.1.14) 因而球谐函数Y 既是角动量算符平方 ，也是角动量算符的 分量 的本征函数。在 Mathematica 中 球谐函 数 表 示 为 SphericalHarmonicY[] 。 勒 让 德 多 项 式 表 示 为 LegendreP[]。 l,m 2 Lˆ z Lz ˆ 将（8.1.6）式代入薛定格方程(8.1.2), 再应用上面推导出的角动量部分波函数所满 足的薛定格方程，可以得到本征波函数ψ(r,θ ,ϕ)表示中的径向部分 R(r)应当满足的方程。 0 2 2 ( 1) 2 2 2 2 2 =       +  −      + + + R r l l r Ze E dr dR dr r d R = µ . (8.1.15) 下面我们以氢原子为例进行分析。定义波尔半径 m m e a e 11 2 2 0 5.29 10− = ≈ × = 为长度单位，即 0 ρ = r / a ; 以氢原子的电离能量 eV m e a e E e 13.5 2 4 4 0 2 0 = = ≈ = 为能量单位，即 = E E0 ε ； 定 义径向函数 R(ρ) = u(ρ)/ ρ 。这时方程(8.1.15)写为 ( ) 0 ( ) 2 ( 1) 2 2 2 =       + + + − ρ ρ ρ ε ρ ρ u Z l l d d u . (8.1.16) 能量ε 的值是由方程(8.1.16)的本征值和本征函数决定的。 我们考虑稳定状态（束缚态），即ε < 0的状态。分析表明函数u(ρ) 可以表示为多项式 或者指数形式。为了找出u(ρ) 的近似式，我们通过考察它在 r → 0 和 r → ∞ 时的极限行 为，发现由波函数的幺正性条件要求上述两种表达方式下都可以推出 u( ) ( ) . (8.1.17) 1 ρ ρ ρ γρ l l e f + − = 将(8.1.17)式代入(8.1.16)后，求解得到超几何函数( ) 1F1 形式的解。 ( )         = + − + γρ γ ρ 1 1 1 ,2l 2;2 Z f c F l l . (8.1.18)