非零解,因此系数行列式等于零,即 2-(a+c)2+ac-b2=0 解这个关于A的方程,得到 2ka+c)+v(a+c)2 (注意根号中(a+c)2-4(ac-b2)=(a-c)2+4b2>0)。 由于连续函数∫在紧集{(x,y)x2+y2=l}上必可取到最大值与最小值,因此 f在D的边界上的最大值为 +c)+y(a+c)2-4ac-b2) 最小值为 4(ac-b 再与∫在D内部的极值f(0,0)=0比较,就得到∫在D上的最大值为 max210=a+c)+(a+c2-4ae-b2) 最小值为 min2,0}=0。 例4设a>0,a1>0(i=1,2,…,n)。求n元函数 fo 在约束条件x1+x2+…+xn=a(x1>0.,i=12…,n)下的最大值。 解作辅助函数 g(x1,x2…,xn)=lnf(x1,x2…xn)=a1nx1+a2lnx2+…+ a In x, 因为函数nu严格单调,所以只要考虑函数g的极值就可以得到∫的极值。 作 Lagrange函数 L=a,Inx, +a2 Inx,+.+a, Inx-2(x,+x2+.+x-a) 由极值的必要条件得到 aL_互-元=0,i=1,2,…,n, ax x1+x,+… 由前n个方程得到x=马,i=12…,n,再代入最后一个方程得到 a, +a 所以 ,i=12 a1+a,+…+a 于是(x1,x2,…,xn)是函数g的唯一可能条件极值点。由于非零解，因此系数行列式等于零，即 )( 0 2 2 λ λ bacca =−++− 。 解这个关于λ 的方程，得到 [ ])(4)()( 2 1 2 2 λ −−+±+= baccaca （注意根号中 2 2 bcabacca 22 >+−=−−+ 04)()(4)( ）。 由于连续函数 在紧集 上必可取到最大值与最小值，因此 在 D 的边界上的最大值为 f }1|),{( 22 yxyx =+ f [ ])(4)()( 2 1 2 2 1 λ −−+++= baccaca ； 最小值为 [ ])(4)()( 2 1 2 2 λ2 −−+−+= baccaca 。 再与 在f D 内部的极值 f = 0)0,0( 比较，就得到 在f D 上的最大值为 1 }0,max{ =λ [ )(4)()( ] 2 1 2 2 −−+++ baccaca ； 最小值为 0}0,min{λ2 = 。 例 4 设 aa i >> 0,0 （ ）。求 = L,,2,1 ni n元函数 n a n aa n L Lxxxxxxf 21 21 21 ),,,( = 在约束条件 21 L n =+++ axxx （ nixi > = L,,2,1,0 ）下的最大值。 解 作辅助函数 n n nn 21 L = 21 L = + lnln),,,(ln),,,( 2211 +L+ ln xaxaxaxxxfxxxg ， 因为函数 严格单调，所以只要考虑函数 lnu g 的极值就可以得到 的极值。 f 作 Lagrange 函数 lnln (ln ) 2211 ++= L+ nn − λ + 21 +L+ n − axxxxaxaxaL 。 由极值的必要条件得到 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+++ ==−= ∂ ∂ . ,,,2,1,0 21 axxx ni x a x L n i i i L λ L 由前 个方程得到 n λ i i a x = ， ，再代入最后一个方程得到 = L,,2,1 ni a aaa + + + n = 21 L λ ， 所以 n i i aaa aa x +++ = 21 L ， = L,,2,1 ni 。 于是 21 L xxx n ),,,( 是函数 的唯一可能条件极值点。由于 g 7