习题13.4反常重积分 讨论下列反常积分的敛散性: (1) (2)0xy,D=(x,1y≤1,而且0m≤(xy≤M (m,M为常数) 3) p(x, y) r1(-x2-y3),其中o(x,y)满足与上题同样的条件 dxdt (4) alx-yIP (5) r2):1(x2+y2+2)”° 解(1)由于 dy 中8(1+1x12)1+1yP)1+1(P21+p 当A,B都趋于正无穷大时,等式右端的积分当仅当p>1且q>1时收敛, 所以原积分当p>1且q>1时收敛,而在其他情况下发散。 (2)由于 (1+r+yes o(x, y) y 而积分 dd当p>时收敛,当p≤时发散,所以原积 分当P>时收敛,当p≤时发散 (3)由于 (x M ≤ (1-x2-y2)(1-x2-y2)(1-x2-y2) 而 dr p2≤x2+y2s1 p(1-r2)2 当ρ→0时,等式右端的积分当p<1时收敛,当p≥1时发散,所以原 积分当p<1时收敛,当p≥1时发散。 (4)0.a]×[0,a=DUD2,其中 D={xy≤y≤x≤a},D2={xy≤xsy≤a 则习 题 13.4 反常重积分 1． 讨论下列反常积分的敛散性： （1）∫∫ 2 (1+ | | )(1+ | | ) R p q x y dxdy ； （2） ( ) ∫∫ D + + dxdy x y x y p 2 2 1 ϕ( , ) ，D = {(x, y) |0 ≤ y ≤ 1}，而且0 < ≤ m x ϕ( , y) ≤ M （m, M 为常数）； （3） ϕ( , ) ( ) x y x y dxdy p x y 1 2 2 1 2 2 − − + ≤ ∫∫ ，其中ϕ( , x y)满足与上题同样的条件； （4） dxdy x y p a a × − ∫∫ [,] 0 0[ , ] ； （5） dxdydz x y z p x y z ( ) 2 2 2 1 2 2 2 + + + + ≤ ∫∫∫ 。 解（1）由于 ∫∫ ∫ ∫ − − ≤ ≤ + + = + + B B q A A p x A y B p q y dy x dx x y dxdy , (1 | | )(1 | | ) 1 1 ， 当 都趋于正无穷大时，等式右端的积分当仅当 且 时收敛， 所以原积分当 且 时收敛，而在其他情况下发散。 A, B p > 1 q > 1 p > 1 q > 1 （2）由于 ≤ + + p x y m (1 ) 2 2 ≤ + + p x y x y (1 ) ( , ) 2 2 ϕ p x y M (1 ) 2 2 + + ， 而积分 ( ) ∫∫ D + + dxdy x y p 2 2 1 1 当 2 1 p > 时收敛，当 2 1 p ≤ 时发散，所以原积 分当 2 1 p > 时收敛，当 2 1 p ≤ 时发散。 （3）由于 ≤ − − p x y m (1 ) 2 2 ≤ − − p x y x y (1 ) ( , ) 2 2 ϕ p x y M (1 ) 2 2 − − ， 而 ∫∫ ∫ ∫ ∫ − − = − − = − − ≤ + ≤ 1 2 2 1 2 2 0 1 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 2 2 2 ρ ρ π ρ θ π p p x y p r d r r rdr dxdy d x y ， 当 ρ → 0时，等式右端的积分当 p < 1时收敛，当 时发散，所以原 积分当 时收敛，当 时发散。 p ≥ 1 p < 1 p ≥ 1 （4）[0, ] a a × = [0, ] D1 ∪ D2，其中 D1 = { } (x, y) 0 ≤ y ≤ x ≤ a ，D2 = {(x, y) 0 ≤ x ≤ y ≤ a}。 则 1