dxdy dxdy dxdy d c-x 可知当p<1时积分收敛,当p≥1时积分发散 (5)利用球面坐标,得到 dxdvdz 当p→0时,右边的积分当且仅当2p-2<1即p<时收敛,所以原积 分当p<3时收敛,当p≥3时发散 2.计算下列反常积分: (1)∫,其中D=1xy)y21x≥1,且P>q>1 (3)∫lerd 解(1) dxdy dy。 (P-q)(q-1) (2)作广义极坐标变换x= ar cos,y= br sinθ,则 dxdy=ablle-rdrde= ab do e rdr= (3) e-1++sdxdyd==edx e-y[= 3.设D是由第一象限内的抛物线y=x2,圆周x2+y2=1以及x轴所围 的平面区域,证明∫y收敛 证取r>0充分小,设D-={xy)0≤≤x20≤x≤7,x是抛物线y=x2与 圆周x2+y2=1交点的横坐标,则 dadu db DuD x +Jdxdy x y p a a × − ∫∫ [,] 0 0[ , ] ∫∫ − = 1 ( ) D p x y dxdy ∫∫ − + 2 ( ) D p y x dxdy ∫ ∫ ∫ ∫ − + − = a x p a a y p a y x dx dx x y dx dy ( ) ( ) 0 0 ， 可知当 p < 1时积分收敛，当 p ≥ 1时积分发散。 （5）利用球面坐标，得到 ∫∫∫ ∫ − ≤ + + ≤ = + + 1 2 2 1 2 2 2 4 2 2 2 2 ( ) ρ ρ π p x y z p r dr x y z dxdydz ， 当 ρ → 0时，右边的积分当且仅当2 p − 2 < 1即 2 3 p < 时收敛，所以原积 分当 2 3 p < 时收敛，当 2 3 p ≥ 时发散。 2．计算下列反常积分： （1）∫∫ D p q x y dxdy ，其中D = {(x, y) |xy ≥ 1,x ≥ 1}，且 p > q > 1； （2） e dx x a y b x a y b − + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ≥ ∫∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 dy ； （3）∫∫∫ − + + 。 3 2 2 2 ( ) R e dxdydz x y z 解 （1） ∫∫ D p q x y dxdy 1 1 1 1 p q x dx dy x y +∞ +∞ = ∫ ∫ 。 1 1 1 1 1 1 ( p q dx q x p q q +∞ − + = = − − ∫ )( −1) 。 （2）作广义极坐标变换 x = ar cosθ , y = brsinθ ，则 e dxdy x a y b x a y b − + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ≥ ∫∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 = = ∫∫ ∫ ∫ +∞ − ≥ − 1 2 0 1 2 2 e rdrd ab d e rdr r r r π =ab θ θ e πab 。 （3）∫∫∫ − + + 3 2 2 2 ( ) R e dxdydz x y z ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ − +∞ −∞ − +∞ −∞ − = e dx e dy e dz x y z 2 2 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ +∞ −∞ − 3 2 e dx x 2 3 π 。 3．设D是由第一象限内的抛物线 y = x 2 ，圆周 x y 2 2 + = 1以及 x轴所围 的平面区域，证明∫∫ + D 2 2 x y dxdy 收敛。 证 取r > 0充分小，设Dr = {(x, y) 0 ≤ y ≤ x ,0 ≤ x ≤ r} 2 ， 是抛物线 与 圆周 交点的横坐标，则 0 x y = x 2 x y 2 2 + = 1 ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − + + + = + 2 0 2 0 1 0 2 2 1 0 2 2 \ 2 2 x x x x r D x y dy dx x y dy dx x y dxdy D r 2