x∈E,则limf(xn)=f(x) 利用定理10,仿照数学分析课程中关于闭区间上连续函数性质的证明,可以证明如 下事实 设K是R”中的有界闭集,f(x)是K上的连续函数.则 (i).f(x)在K上是有界的 (i).f(x)在K上取得最大值和最小值 (i).f(x)在K上是一致连续的.即对任意E>0,存在>0,使得对任意 x,x”∈K,当d(x,x")<时,成立f(x)-f(x")<E 此外容易证明,若{fn(x)}是R”的子集E上的一列连续函数,并且{fn}在E一致 收敛于f(x),则∫(x)是E上的连续函数 直线上开集的构造下面我们考虑直线上开集的构造设A为直线上的开集,(a,b) 为一个有界或无界开区间.若(anb)cA,并且区间的端点a.b不属于A,则称(a,b)为 A的一个构成区间如图4-2,(a,b)和(c,d)都是A的构成区间,但(c1,d1)不是 图4-2 定理12(开集的构造定理)直线上的每个非空开集都可以表示成至多可数个互不相交 的构成区间的并 证明分几个步骤.(1)设A为R中的开集先证对任意x∈A,存在A的一个构 成区间(a,b),使得x∈(a,b).由于A是开集,故存在开区间(a,B)使得 x∈(a,B)cA.令 a=inf{a:x∈(a,B)cA} b=sup{B:x∈(a,B)cA} 则x∈(a,b).往证(a,b)是A的构成区间.设x’∈(a,b),不妨设a<x<x.由a的定 义,存在(a,B),使得a<a<x',并且x∈(a,B)cA.因此 x'∈(a,x)c(a,B)A.所以(a,b)cA.再证a,bgA.事实上,若a∈A,则存在33 x ∈ E, 则 lim f (x ) f (x). n n = →∞ 利用定理 10, 仿照数学分析课程中关于闭区间上连续函数性质的证明, 可以证明如 下事实: 设 K 是 n R 中的有界闭集, f (x) 是 K 上的连续函数. 则 ( ) i). f (x 在 K 上是有界的. ( ) ii). f (x 在 K 上取得最大值和最小值. ( ) iii). f (x 在 K 上是一致连续的. 即对任意 ε > 0, 存在 δ > 0, 使得对任意 x′, x′′∈ K, 当d(x′, x′′) < δ 时, 成立 f (x′) − f (x′′) < ε. 此外容易证明, 若{ f (x)} n 是 n R 的子集 E 上的一列连续函数, 并且{ }n f 在 E 一致 收敛于 f (x), 则 f (x) 是 E 上的连续函数. 直线上开集的构造 下面我们考虑直线上开集的构造. 设 A 为直线上的开集, (a,b) 为一个有界或无界开区间. 若(a,b) ⊂ A, 并且区间的端点 a, b 不属于 A, 则称(a,b)为 A 的一个构成区间. 如图 4 2, (a,b)和(c, d) 都是 A 的构成区间, 但( , ) 1 1 c d 不是. 图 4 2 定理 12 (开集的构造定理)直线上的每个非空开集都可以表示成至多可数个互不相交 的构成区间的并.. 证明 分几个步骤. (i). 设 A 为 1 R 中的开集. 先证对任意 x ∈ A, 存在 A 的一个构 成区间 (a,b), 使 得 x ∈ (a,b) . 由 于 A 是开集 , 故存在开区间 (α, β ) 使 得 x ∈ (α, β ) ⊂ A . 令 sup{ : ( , ) .}. inf{ : ( , ) }, b x A a x A = ∈ ⊂ = ∈ ⊂ β α β α α β 则 x ∈ (a,b). 往证(a,b)是 A 的构成区间. 设 x′∈ (a,b), 不妨设 a < x′ < x. 由 a 的定 义 , 存 在 (α, β ), 使 得 a < α < x′, 并 且 x ∈ (α, β ) ⊂ A . 因 此 x′∈ (α, x) ⊂ (α, β ) ⊂ A . 所以 (a,b) ⊂ A. 再证 a,b ∉ A. 事实上, 若 a ∈ A, 则存在 b c d 1 d 1 c A = (a, b) ∪ (c, d) a