定理2.1设z=u(x,y)+iv(x,y),20xo+iyo,A=a+ib,则 limf(z)=A台，lim(x,y)=a, -→20 (x,y)-→(0%） lim v(x,y)=b. (x,y)→(xo,y0) 证明：先证必要性.limf(z)=A 即对ε>0，必36>0，当 0<2-0=x+iy)-(x+i%=Vx-)2+0y-%)2<8 时，有 f(=)-A=(u+iv)-(a+ib)=/(u-a)+(v-b)2<s lu-al≤Vu-a)2+(w-b)2,v-bl≤Vu-a2+(v-b2.定理2.1 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z0=x0+iy0 ,A=a+ib，则 0 0 0 ( , ) ( , ) lim ( ) lim ( , ) , z z x y x y f z A u x y a → → =  = 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) . x y x y v x y b → = 证明：先证必要性. 0 lim ( ) z z f z A → = 即对    0 ,必    0 ,当 2 2 0 0 0 0 0 0 ( i ) ( i ) ( ) ( )  − = + − + = − + −  z z x y x y x x y y  时， 有 2 2 f z A u v a b ( ) ( i ) ( i ) − + − + = = − + −  ( ) ( ) u a v b  2 2 2 2 u a v b − −  − + −  − + − ( ) ( ) , ( ) ( ) . u a v b u a v b