《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 *§9.6可积性理论的补叙 这一节，我们从理论上研究函数可积准则，给出函数在某一区间上可积的 充分必要条件。 一、达布(Darboux1842~1917法国数学家)上和与下和的性质 1、思路与方案： 思路：鉴于积分和与分法和介点有关，先简化积分和.用相应于分法 T的 “最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和，即用极限的双逼 原理考查 积分和有极限，且与分法T及介点5无关的条件， 方案：定义上和S(T)和下和(T).研究它们的性质和当T→0时有相 同极限的充要条件 2.Darboux和： 以下总设函数f(x)在区间[a,b]上有界.并设m≤f(x)≤M, 其中m和M分别是函数f(x)在区间【a,b]上的下确界和上确界. 定义Darboux和，指出Darboux和未必是积分和·但Darboux和由分法T 唯一确定， 分别用S(T)、s(T和∑(T)记相应于分法T的上（大）和、下（小）和与 积分和. 积分和∑(T是数集（多值）·但总有s(T≤∑T≤S(T),因此有 《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 1 *§9．6 可积性理论的补叙 这一节，我们从理论上研究函数可积准则，给出函数在某一区间上可积的 充分必要条件。 一、 达布(Darboux 1842～1917 法国数学家) 上和与下和的性质 1、思路与方案： 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于分法 T 的 “最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼 原理考查 积分和有极限, 且与分法 T 及介点 i  无关的条件 . 方案: 定义上和 ( ) _ S T 和下和 s(T) . 研究它们的性质和当 T → 0 时有相 同极限的充要条件 . 2. Darboux 和: 以下总设函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上有界. 并设 m  f (x)  M , 其中 m 和 M 分别是函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上的下确界和上确界 . 定义 Darboux 和, 指出 Darboux 和未必是积分和 . 但 Darboux 和由分法 T 唯一确定. 分别用 ( ) _ S T 、 s(T) 和 (T) 记相应于分法 T 的上（大）和、下（小）和与 积分和. 积分和 (T) 是数 集( 多值) . 但 总有 s(T)  (T)  ( ) _ S T , 因此有