《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 s(T)≤ST). sT)和5(T)的几何意义. 3.Darboux和的性质： 本段研究Darboux和的性质，目的是建立Darboux定理. 先用分点集定义分法和精细分法：T≤T'表示T'是T的加细· 性质1：若T≤T',则s(T)≤(T),ST)≥5(T).即：分法加细，大 和不增， 小和不减.（证） 性质2：对任何T,有mb-a)≤S(T),M(b-a)2s(T.即：大和 有下界， 小和有上界.（证） 性质3：对任何T和I,总有(T)≤S(T).即：小和不会超过大和 证：sT)≤sT+I)≤5(I+T)≤T) 性质4：设T'是T添加p个新分点的加细.则有 s(T)≤s(T)≤s(T)+p(M-m)Tl, S(T)2S(T)2S(T)-p(M-m)T. 证：设T是只在T中第i个区间[x,x,]内加上一个新分点x所成的分 法，分别设 M=黑，/，=牌，4，=即f· 显然有m≤M和M,≤M,≤M.于是《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 2 s(T)  ( ) _ S T . s(T) 和 ( ) _ S T 的几何意义 . 3. Darboux 和的性质: 本段研究 Darboux 和的性质, 目的是建立 Darboux 定理. 先用分点集定义分法和精细分法: T  T  表示 T  是 T 的加细 . 性质 1： 若 T  T , 则 s(T)  s(T), ( ) _ S T  ( ) _ S T . 即 : 分法加细, 大 和不增, 小和不减 . ( 证 ) 性质 2： 对任何 T , 有 m(b − a)  ( ) _ S T , M (b − a)  s(T) . 即 : 大和 有下界, 小和有上界. ( 证 ) 性质 3： 对任何 T1 和 T2 , 总有 ( ) T1 s  ( ) 2 _ S T . 即: 小和不会超过大和 . 证： ( ) T1 s  ( ) T1 T2 s +  ( ) 1 2 _ S T +T  ( ) 2 _ S T . 性质 4： 设 T  是 T 添加 p 个新分点的加细. 则有 s(T)  s(T)  s(T) + p (M − m) T , ( ) _ S T  ( ) _ S T  ( ) _ S T − p(M − m) T . 证： 设 T1 是只在 T 中第 i 个区间 [ , ] i 1 i x x − 内加上一个新分点 x 所成的分 法, 分别设 sup ( ) [ , ] 1 1 M f x x x i− = , sup ( ) [ , ] 2 M f x i x x = , sup ( ) [ , ] 1 M f x i i x x i − = . 显然有 m  M1 和 M2  Mi  M . 于是