《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 0≤ST-S(T)=M,(x,-x-)-M1(-x-)-M2(x-x) =(M,-Mx-x-)+(M,-M2x-x)≤ ≤(M-m(x-x-)+(M-m(x,-x)=(M-mx,-x)≤(M-m)T 添加p个新分点可视为依次添加一个分点进行p次.即证得第二式。 可类证第一式. 推论：设分法T'有p个分点，则对任何分法T,有 S(T)-p(M-m)lTllsS(T),s(T)+p(M-m)Tllzs(T). 证：S(T)-pM-m)Tl≤ST+T')≤S(T)· s(T)+p(M-m)ITI≥s(T+T')≥s(T). 4、上积分和下积分： 设函数f(x)在区间[a,b]上有界.由以上性质2， ()有上界，S(T)有下界.因此它们分别有上确界和下确界 定义：记fd=S),广fxd=spT).分别称和 心为 函数f(x)在区间【a,b]上的上积分和下积分. 对区间[口，b1上的有界函数f,工和广存在且有限，厂≥止 并且 对任何分法T,有T)s心ssS. 上、下积分的几何意义. 《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 3 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 1 1 1 S T S T M x x M x x M x x  − = i i − i− − − i− − i − = (Mi − M1 )(x − xi−1 ) + (Mi − M 2 )(xi − x)  ( )( ) ( )( ) ( )( )  − − i−1 + − i − = − i − i−1 M m x x M m x x M m x x  (M − m) T . 添加 p 个新分点可视为依次添加一个分点进行 p 次. 即证得第二式. 可类证第一式. 推论： 设分法 T  有 p 个分点，则对任何分法 T ，有 S(T) − p(M − m) || T ||  S(T) ， s(T) + p(M − m) || T ||  s(T ) . 证： S(T) − p(M − m) || T ||  S(T + T)  S(T) . s(T) + p(M − m) || T ||  s(T + T)  s(T) . 4、上积分和下积分: 设函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上有界. 由以上性质 2 ， s(T) 有上界 ， ( ) _ S T 有下界 . 因此它们分别有上确界和下确界. 定义： 记  b a f (x)dx inf S(T) T = ,  b a f (x)dx sup s(T) T = . 分别称  b a 和  b a 为 函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上的上积分和下积分. 对区间 [ a , b ] 上的有界函数 f (x) ,  b a 和  b a 存在且有限 ,  b a   b a . 并且 对任何分法 T , 有 s(T)   b a   b a  ( ) _ S T . 上、下积分的几何意义