《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 例1、求Dx)d和∫Dxt.其中Dx)是Dirichlet函 数. 5、Darboux定理： 定理1：设函数f(x)在区间[a,b]上有界，T是区间【a,b]的分法 则有 R5=xd,e)=止fx 证：（只证第一式.要证：对>0,36>0，使当T<6时有 0≤5)-<6.0≤5)-是显然的.因此只证)-广<8.) 工=时50.对ve>0.3r,使3<+气 设T'有p个分点，对任何分法T,由性质4的系，有S(T)-p(M-m)T≤ S(T), 由*式得5)-p(M-ms5T)<+5即 5m-pM-mk+号 亦即 50-<+pw-m 于是取6 2M-m·（可设M>m,否则/)为常值函数，厂=5 对任何 分法T成立.对任何分法T,只要T<6,就有《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 4 例 1、 求  1 0 D(x)dx 和  1 0 D(x)dx . 其中 D(x) 是 Dirichlet 函 数 . 5、 Darboux 定理 : 定理 1： 设函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上有界, T 是区间 [ a , b ] 的分法 . 则有 0 lim T → ( ) _ S T =  b a f (x)dx , 0 lim T → s(T) =  b a f (x)dx . 证： ( 只证第一式 . 要证 : 对   0 ,   0 , 使当 T   时有 0  ( ) − _ S T  b a   . 0  ( ) − _ S T  b a 是显然的. 因此只证 ( ) − _ S T  b a   . )  b a inf S(T) T = ,  对   0 , T  , 使 ( ) _ S T <  b a *) , 2  + 设 T  有 p 个分点, 对任何分法 T , 由性质 4 的系, 有 ( ) − _ S T p (M − m) T  ( ) _ S T , 由* ) 式, 得 ( ) − _ S T p (M − m) T  ( ) _ S T <  b a , 2  + 即 ( ) − _ S T p (M − m) T <  b a , 2  + 亦即 ( ) _ S T  − b a < 2 +  p (M − m) T . 于是取 2 p(M − m) =   , ( 可设 M  m, 否则 f (x) 为常值函数,  b a = ( ) _ S T 对任何 分法 T 成立. ) 对任何分法 T , 只要 T   , 就有