《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 0s5n)-工<+5=. 此即肥。5=fx本. 二、可积的充要条件： 定理2（充要条件1）：设函数f(x)在区间[a,b]上有界. fx)∈R[a,b]台 - 证：)设∫/x达=1，则有肥∑f,Ay,=1.即对 c>0,36>0,使当7<6时有 I∑f,)A,-1川<号对，eAx,成立. 在每个1止取，使0sM-)0。于是 150-∑f)A1=(M-fm》A< 因此，<6时有 |5T)-1|≤|5(T)-∑f5)Ax|+|∑fcA-1|<号+号= 此即肥5)=1.由Darboux定理，。广=1. 同理可证上：1.→上：厂， )对任何分法T,有s(T)≤∑(T)≤S(T),而 《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 5 0  ( ) − _ S T  b a     + = 2 2 . 此即 0 lim T → ( ) _ S T =  b a f (x)dx . 二、 可积的充要条件: 定 理 2 （ 充要条件 1 ）： 设函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上有界 . f (x) R[ a , b ]   b a =  b a . 证 ： ) 设  b a f (x)dx = I , 则 有 0 lim T →  i  i f (x ) x = I . 即 对   0 ,   0 , 使当 T   时有 |  i  i f (x ) x − I | < 2  对 i i  x 成立. 在每个 [ , ] i 1 i x x − 上取 i , 使 0 ( ) i i  M − f  2(b − a)   , 于是, | ( ) _ S T − ( ) i f  i x | = ( ( )) i i  M − f  i x < 2  . 因此, T   时有 | ( ) _ S T − I |  | ( ) _ S T − ( ) i f  i x | + |  i  i f (x ) x − I | < 2  + 2  =  . 此即 0 lim T → ( ) _ S T = I . 由 Darboux 定理 ,   b a = I . 同理可证  b a = I .   b a =  b a . ) 对任何分法 T , 有 s(T)  (T)  ( ) _ S T , 而