C11C12 a b1 b1 b1 0c21c22 0 CnI Cn2 0b21b22 由 Laplace展开定理,得 AB|=(-1)1++n+n+1++2n+nCl=(-1)m(2n+1)+C|=|C 推论设A是n阶方阵,则下列命题等价 (1)A可逆 (2)存在B,使得AB=In; (3)存在B,使得BA=ln; (4)|≠0 (5)A=In; (6)A可表示为若干个初等矩阵之积 证明(1)→(2)(3):显然 (2)(3)→(4):利用上面定理=                  0 0 · · · 0 c11 c12 · · · c1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · an1 an2 · · · ann −1 b11 b12 · · · b1n −1 b21 b22 · · · b2n . . . · · · · · · · · · · · · −1 bn1 bn2 · · · bnn                  =                 0 0 · · · 0 c11 c12 · · · c1n 0 0 · · · 0 c21 c22 · · · c2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · 0 cn1 cn2 · · · cnn −1 0 · · · 0 b11 b12 · · · b1n 0 −1 · · · 0 b21 b22 · · · b2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · −1 bn1 bn2 · · · bnn                 . P Laplace ◗❘❙❚✺❯ |AB| = (−1)1+···+n+n+1+···+2n+n |C| = (−1)n(2n+1)+n |C| = |C|. ❱❲ ■ A ❏ n ❑ ❉✭✺▲❳✲❨❩✴❬❭ (1) A ✻✼❪ (2) ❫❴ B, ❵ ❯ AB = In; (3) ❫❴ B, ❵ ❯ BA = In; (4) |A| 6= 0; (5) A ∼= In; (6) A ✻❛❜❝❞❡✷❄✴✬✭❢✯❋ ▼◆ (1)⇒(2)(3): ❣❤❪ (2)(3)⇒(4): ✐ ❃❥❦❙❚❪ 2