第85讲曲线积分计算法(1) 365 第85讲曲线积分计算法(1) 、对长的曲线积分的计算 1.曲线l由参数方程表示的情形 若曲线l由参数方程x=),y=()(a≤t≤B)表示,其中g(t),y()在[a,B上 有一阶连续偏导数,且y2(t)+y2(t)≠0,则 f(x,y)ds=o),收()]√q()+y(t)d(a<B 若空间曲线r由参数方程x=g(t),y=y(t),x=a(t)(a≤t≤B)给出,则有 f(,y,z)ds=.f[p(t), p(t), (D) ]v (2)+y(2)+w(L)dt (a<p) 注意因为曲线4是无方向的,所以积分下限a一定要小于上限 例1计算」(x2+y)d,其中l为曲线x=a(cost+sin),y=a(sin-tos)(0≤ t≤2丌,a>0). 解d=√r2+y:dt=√( atcost)2+(atsm)d=adt,所以 ∫(x+y)d=)+(it-opat 」4+)-1+分)l=2x(+r 例2计算 ∫「≥+y+d,其中为曲线x=-oy,y-mt:=“上相应于从 0变到2的一段弧 解ds=√x2+y+x'd √te(cost-sm)+e(sin+cost)j+(e)dt=√3e 所以, n=+y+== e in :t ( e )="e 例3计算」 roads,其中为4个点A(0,0,0),B(0,0,2).C(1,0,2),D(1,3,2)连成 的折线 解l由三条线段AB、BC、CD组成,它们的参数方程分别为 AB:x=0,y=0,x=2t(0≤t≤1),ds=√0+0+2dt=2dt BC:x=t,y=0,x=2(0≤t≤1),ds=√1+0+dr=d; CD:x=1,y=3,x=2(0≤t≤1),ds=√0+32+0dt=3dt; 于是,x2yzds=|_x2yzds+[ reds+ road 03·0·2t·2d+|t2·0·2dr+|12.3·2.3dt=|lsdt=9