第十三章静电场中的导体和电介质 P70 13.1一带电量为q,半径为r的金属球A,与一原先不带电、内外半径分别为ra 和rc的金属球壳B同心放置,如图所示,则图中P点的电场强度如何?若用导线将A和B 连接起来,则A球的电势为多少?(设无穷远处电势为零) 解答]过P点作一个同心球面作为高斯面,尽管金属球壳内侧会 感应出异种,但是高斯面内只有电荷q.根据高斯定理可得 E4兀2 q/ao 可得P点的电场强度为 E 图13.1 当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q时,外侧将出现同种电荷q.用导线将A和B连 接起来后,正负电荷将中和.A球是一个等势体,其电势等于球心的电势.A球的电势是球 壳外侧的电荷产生的,这些电荷到球心的距离都是rC,所以A球的电势为 4πEorc 13.2同轴电缆是由半径为R1的导体圆柱和半径为R2的同轴薄圆筒构成的,其间充满 了相对介电常数为cr的均匀电介质,设沿轴线单位长度上导线和圆筒的带电量分别为+1和 ,则通过介质内长为l,半径为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少?圆柱面上任 点的场强为多少? 解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的.在内外半径之间作一个半径为r 长为l的圆柱形高斯面,根据介质中的高斯定理,通过圆柱面的电位移通量等于该面包含的 自由电荷,即φ=q= 设高斯面的侧面为S,上下两底面分别为S1和S2,通过高斯面的 电位移通量为 o,=ND ds =] D ds +[DdS+AD-ds-2xid 可得电位移为 D=/2r, 其方向垂直中心轴向外 电场强度为 E= D/cocr =2/2Ttcoerr 方向也垂直中心轴向外 13.3金属球壳原来带有电量Q,壳内外半径分别为a、b,壳 内距球心为r处有一点电荷q,求球心O的电势为多少? 解答]点电荷q在内壳上感应出负电荷-q,不论电荷如何分布, 距离球心都为a.外壳上就有电荷q+Q,距离球为b.球心的电势 是所有电荷产生的电势叠加,大小为 图13.31 第十三章 静电场中的导体和电介质 P70． 13．1 一带电量为 q，半径为 rA 的金属球 A，与一原先不带电、内外半径分别为 rB 和 rC的金属球壳 B 同心放置，如图所示，则图中 P 点的电场强度如何？若用导线将 A 和 B 连接起来，则 A 球的电势为多少？（设无穷远处电势为零） [解答]过 P 点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会 感应出异种，但是高斯面内只有电荷 q．根据高斯定理可得 E4πr 2 = q/ε0， 可得 P 点的电场强度为 2 0 4π q E  r = ． 当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q 时，外侧将出现同种电荷 q．用导线将 A 和 B 连 接起来后，正负电荷将中和．A 球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A 球的电势是球 壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是 rC，所以 A 球的电势为 0 4π C q U  r = ． 13．2 同轴电缆是由半径为 R1 的导体圆柱和半径为 R2 的同轴薄圆筒构成的，其间充满 了相对介电常数为 εr 的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线和圆筒的带电量分别为+λ 和 -λ，则通过介质内长为 l，半径为 r 的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一 点的场强为多少？ [解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为 r、 长为 l 的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通量等于该面包含的 自由电荷，即 Φd = q = λl． 设高斯面的侧面为 S0，上下两底面分别为 S1 和 S2．通过高斯面的 电位移通量为 d d S  =  Ñ D S 0 1 2 d d d 2π S S S =  +  +  = rlD    D S D S D S ， 可得电位移为 D = λ/2πr， 其方向垂直中心轴向外． 电场强度为 E = D/ε0εr = λ/2πε0εrr， 方向也垂直中心轴向外． 13．3 金属球壳原来带有电量 Q，壳内外半径分别为 a、b，壳 内距球心为 r 处有一点电荷 q，求球心 O 的电势为多少？ [解答]点电荷 q 在内壳上感应出负电荷-q，不论电荷如何分布， 距离球心都为 a．外壳上就有电荷 q+Q，距离球为 b．球心的电势 是所有电荷产生的电势叠加，大小为 q O b a r 图 13.3 B O A P rA rC rB 图 13.1 D S1 S2 S0 R r 2 R1 εr l