一个给足球队排名次的方法 贼立峰 毛威马斌 (北京大学数学系,101) 摘要本文利用层次分析法建立了一个为足球队排名次的数学模型它首先对用来排 名次的数据是否充分作出判断,在能够排名次时对数据的可依赖程度作出估计,然后给出名 次,文中证明了这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺 序 文中将看到此模型充分考虑了排名结果对各场比赛成绩的重要性的反馈影响,基本上消 除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象:文中还证明了模型的稳定性,这保证了各队 在发挥水平上的小的波动不会对排名顺序造成大的变动.本模型比较完满地解决了足球队排 名次问题,而且经过简单修改,它可以适用于任何一种对抗型比赛的排名 81问题的提出及分析 本题的表1给出的是我国12支足球队在1988-1989年全国甲级队联赛中的成绩,要求 通过建立数学模型,对各队进行排名次 按照通常的理解,排名的目的是根据比赛成绩排出反映各队真实实力状况的一个顺序 为达到这一点,一个好的排名算法应满足下面一些基本要求 (1)保序性;(2)稳定性;(3)能够处理不同场比赛的权重;(4)能够判断成绩表的可约 性;(5)能够准确地进行补残;(6)容忍不一致现象;(7)对数据可依赖程度给出较为精确的 描述 可以想象,各队的真实实力水平在成绩表中反映出来(见§3假定Ⅱ),所以根据排名目 的,我们要求排名顺序与成绩表所反映的各队实力水平的顺序是一致的,这就是要求(1) 也就是说,如果a比b表现出色,a的名次就应排在b前面但a比b出色不能只由a对 b的这一场比赛所决定,必须参考a,b相对于其他队的成绩,象a平c,c胜d,d平b这组比 赛对a,b的相对表现是有影响的为使一个算法满足保序性,就必须充分考虑到将a,b连 结起来的所有场比赛.下面的例子表明积分法不满足保序性 例1a平c,c胜山,d平6,a平b 在上述比赛中a表现应比b出色,但按积分法计算a,b都积2分.其原因就在于积分法 没有把a平c,c胜d,d平b这组比赛中所体现的a,b实力对比情况考虑进去 要求(2)是说成绩表小的变动不会对排名结果造成巨大影响这是由于球队发挥水平 存在正常波动而必须提出的,如果这种正常的小波动引起名次的巨大变化,那么排名就不令 人信服 要求(3)使得不同场比赛在排名中的地位不同,这是因为在实际比赛中,往往会有的队不 幸遇到较强的队而输掉.为了避免由于对手的强弱不同造成的不公平,要求(3)是必须的但现 行的排名制度大都满足不了要求(3),以致于许多时候“运气”对名次起了重要作用; 要求(4)-(7)是为适应实际比赛中可能会出现在一些复杂情况而提出的 首先是可能某两个队之间没有打比赛,我们称之为数据(成绩)残缺对于两队成绩残 缺,只能通过它们同其他队的比赛成绩来判断它们的实力对比如果残缺元素过多,就有可