§3.3开集的可测性 定义3.3.1若E可以表成至多可列个闭集之并,则称E为Fa型集;若 E可以表成至多可列个开集之交,则称E为G型集;若E可以看成由区间出发 经至多可列次交并余差运算的结果,则称E为 Borel集 由开集与闭集的对偶性可直接得到Fa型集与G6型集的对偶性:F为Fa型 集<=>CF是G型集,G为G型集<=>CG是F型集 证明留作习题。 推论3.3 切Fσ集、G°集、 Borel集均为可测集。 反过来,可测集不一定是Fσ集、G集、 Borel集但与这些集合非常接近,下 述三个定理将给出具体描述。 定理3.3.1以下三命题是等价的 1)E可测 )对任意ε>0存在开集G满足GE,且m(G-E)<e 3)存在G6集G0满足G0彐E,且m"(G0-E)=0 证明:1)=>2)因为E可测,若皿<+∞,对由外测度定义知,对任意ε> 存在开集G→E满足mG<mE+ε,即m(G-E)<ε;若mE=+∞,则存在E满足 mEn<+∞,且E={」En,对任意ε>0存在开集0nEn满足m0n<mEn+ 令G=U0”, 则开集GE,从而m(GB)≤∑m(0")<∑5=§３.３ 开集的可测性 定义３.３.１ 若 E 可以表成至多可列个闭集之并，则称E为F σ 型集；若 E 可以表成至多可列个开集之交，则称E为Gδ 型集；若 E 可以看成由区间出发 经至多可列次交并余差运算的结果，则称 E 为 Borel 集。 由开集与闭集的对偶性可直接得到 F σ 型集与 G δ 型集的对偶性：F 为 F σ 型 集<＝>CF 是 Gδ 型集,G 为 Gδ 型集<＝>CG 是 F σ 型集。 证明留作习题。 推论３.３.１: 一切 F σ 集、G δ 集、Borel 集均为可测集。 反过来，可测集不一定是 F σ 集、Gδ 集、Borel 集但与这些集合非常接近， 下 述三个定理将给出具体描述。 定理３.３.１ 以下三命题是等价的 1) E 可测 2) 对任意 ε＞0 存在开集 G 满足 G ⊃ E，且 m* (G-E)＜ε。 3) 存在 Gδ 集 G 0满足 G 0 ⊃ E，且 m* (G 0 -E)＝0。 证明：1)＝>2)因为 E 可测，若 mE＜＋∞，对由外测度定义知，对任意 ε＞ 0 存在开集 G ⊃ E 满足 mG＜mE+ε，即 m(G-E)＜ε；若 mE＝＋∞，则存在 E n 满足 m* E n ＜＋∞，且 E＝U ∞ n=1 E n ，对任意 ε＞0 存在开集 O n ⊃ E n 满足 mO n ＜mE n + n 2 ε ， 令 G＝U ∞ n=1 O n ， 则开集 G ⊃ E，从而 m * (G-E)≤∑ ∞ m=1 m* (O n -E n )＜∑ ∞ m=1 n 2 ε ＝ε