第四章对偶问题及对偶单纯形法 对偶单纯形法的计算向囊。 聚 件到子个满足最优检的初始基本解 束二条 检进当个解是否可了若可了， 量，记这 向 束四条 橙查心若心，至大于原等于石则阿题无解，停止腰'香则，便 下式相到最小的分对应的之量作为换标之量： min(9二，<0，其中j为非基之量的下标}=之 束五条五.以4，为枢轴下了回轴运算第二向 第 向中函数换 的非基为 量的原则是函数能够使得最小的：增加，并为不破环最优检 之知偶第”了中的，之0，=1,2，，n则阿题无解因为单 形表中南一，的标之是将马增加1单位所大起的第：了基，量的，化.如心，>0.表示 基、量取值减少，而<0表示基量取值增加。因单纯形表中子了的.为负数，必 须增加到0，才能使得该了的基量成为换出量，因此必须，<0，若第了的, 都是正数，则大下任一非基，量都不能使得行的基，址，为0而离去，此基，量水远 不能满足非负约束，所以此同题无解。 我们仍以例1的原问题为例说明对偶单纯形法的计算。例1中原何题的标这型如下 min z=6x1+3x+2x: x1+r+2红-r4=20 满足 r1+2+g-5=6 2x1+x2+x3-x6=10 x>0.i=1.2....6 解函数，6为基之其令===0则足得出4=-20， -6.xe=-10 ”为了使初始基本解的基，量的系数矩和为单位矩和，用-1乘3个约束方程.因为是 求目标函数值最小用与一弓≤0检满最优。初始单纯形表如表4。 授4-4 6 32000 0 01 0 00000 -6 0 0 表中所有检满数-9≤0，目相最优但不可了函数4为换出之量，”=1 m(后子=2，°=38 Ö✳×✵ØÚÙ✒Û✳Ü✵Ý✒Þ✒Ù✒Û✒ß✒à✒á✳â ✢✒✣✒⑦✁➠✁✤♠ ★✁✃✁➧➪✁❐: ❒ SN ✻✁⑩✒✫✁✭✒➔✒★✒❢Ó ★✁❮✒❸✯ ❰✑✁Ï Ð❺✒✮✒✷➙✒➛➀✒ç✁↕✁➙✒★✁Ñ✁❖✒✫✒⑩✒●; ❰❫Ï ↕✁➙✒➸✷ ●✒✘➼ÿ P✒✯ ❆✒ÿP , Òý ➀✒ç✒●, ➼→❂✁Ó✒❢✮✁➪; ❰➈Ï Ô✁Õ b 0 i ➀✒➁✮✁P★✁✭✒➔♦ ✻✁Ö❋ ✭✒➔, ❒➣✮✁P✻ i ∗ , ❂✁Ó✒❢✮✁➪; ❰➓ Ï ↕✬× a 0 i ∗j ❱ ❆ a 0 i ∗j ✴ ã❀➺✬✼❀➻❀➺ 0, → ✸❀✹✏ ●❱✓Ø✬Ù✃✬➧✯ ➼→ ❱ Ô✬Õ❿ ❢✁✥✁➵❺➀✒➁✒★ j ∗ ✢✒✛✒★✁✭✒➔♦ ✻✁Ö✁Ó✁✭✒➔: min{ cj − zj a 0 i ∗j    a 0 i ∗j < 0, ✰ ❤ j ✻✁⑩✒✫✁✭✒➔✒★✒❢Ó } = cj ∗ − zj ∗ a 0 i ∗j ∗ ❰✁ÚÏ 5. ￾ ai ∗j ∗ ✻✁Û✁Ü✁❢P ❂✁Ü✁Ý✁➧, ❂✒➓✁✳➪✒✯ ➓✁✿➪ ❤Ô✁ÕÖ✁Ó✁✭✒➔✒★✒✼→✘Ô✁Õ✁Þ✁ß❿ ý ➀✒➁✒★ b 0 i à✞❱ þ✁✻✒➬✁á✁â✒➀✒ç✁↕✁➙ ★❳⑩➽✫❳✭➽➔➽✻❳Ö❳Ó❳✭➽➔✯ ❼❳✣✒➓ i ∗ P ❤➹★ a 0 i ∗j ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n, → ✸➽✹✏ ● ✯ ➦➽✻➽⑦❳➠ ✤✒②✳❤✵★ a 0 ij ★✁✮✁✯✒✘❋ xj à✞ 1 ⑦✒⑨✒♦✁ã✁❘✒★✒➓ i P ✫✁✭✒➔✒★✁✭✁ä✯ ❼ a 0 ij > 0, ②✁✲ ✫✁✭✒➔❹✒è✁➶✁➹❱ ➷ a 0 ij < 0 ②✁✲✒✫✁✭✒➔❹✒èà✞ ✯ ➦✒⑦✁➠✁✤✒②✳❤ i ∗ P ★ b 0 i ∗ ✻✁❶Õ ❱ ❹ ❺à✞ ❺ 0❱✓åÞ❿ ý❥P ★✒✫✁✭✒➔✒①✒✻✁Ö❋ ✭✒➔❱ ➦✒➧✒❹✒❺ a 0 i ∗j < 0✯ ❆✒➓ i ∗ P ★ a 0 i ∗j ✽✒✘✁æÕ ❱ → ã✁❢✁➃✮ ⑩✒✫✁✭✒➔✒✽✒➬Þ❿ ý i ∗ P ★✒✫✁✭✒➔✁✭✒✻ 0 ➷✁ç✁è❱ ➧✒✫✁✭✒➔✁é✁ê ➬Þ➙✒➛⑩✁❶✒❮✒❰❱ ♦✁￾✒➧✒✸✒✹✏ ● ✯ ➻ ➢✁ë￾ ❣ 1 ★✒✼✒✸✒✹✒✻❣✒❴✳❵✢✒✣✒⑦✁➠✁✤♠ ★✁✃✁➧✯ü❣ 1 ❤✵✼✒✸✒✹✒★Ó✁➣↕✒❼✒❢: min z = 6x1 + 3x2 + 2x3; ➙✒➛    x1 + x2 + 2x3 − x4 = 20 1 2 x1 + 1 2 x2 + 1 4 x3 − x5 = 6 2x1 + x2 + x3 − x6 = 10 xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , 6 ✈ : Ô✰Õ x4, x5, x6 ✻✫✰✭➔, ↔ x1 = x2 = x3 = 0, →➛ý❋ x4 = −20, x5 = −6, x6 = −10✯ ✻ P❿✁Ñ✁❖✒✫✒⑩✒●✒★✒✫✁✭✒➔✒★✒❉Õ✁❀✁❁✻✒⑦✒⑨❀✁❁, ✜ −1 ◗ 3 ✷ ❮✒❰✕✒Ñ✒✯ ➦✒✻✒✘ ❊▲Ò◆Ó✒Ô✒Õ✒è➀✒➁, ✜ zj − cj ≤ 0 ↕✁➙✒➀✒ç✯ Ñ✁❖✒⑦✁➠✁✤✒②✒❼✒② 4-4✯ ② 4–4 cj → 6 3 2 0 0 0 cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 x4 −20 −1 −1 −1 1 0 0 0 x5 −6 −1 2 −1 2 −1 4 0 1 0 0 x6 −10 −2 −1 −1 0 0 1 zj 0 0 0 0 0 0 zj − cj −6 −3 −2 0 0 0 ②✳❤✵♦✒✾✁↕✁➙Õ zj − cj ≤ 0, Ò✚➵✒➀✒ç, ❅✒➬✒ÿP✒✯ Ô✁Õ x4 ✻✁Ö❋ ✭✒➔,i ∗ = 1✯ min{ −6 −1 , −3 −1 , −2 −1 } = 2, j ∗ = 3