第二学期第二十七次课 第十二章张量积与外代数 §1多重线性映射 12.1.1线性空间的一组基的对偶基的定义 定义121对偶空间 设v是k上n维线性空间,E,E,,E,是v的一组基,则线性函数 f:F→K(K为数域)被∫在此组基下的映射法则决定,即f(c)f(62)…,f(E)已给定。 现设T内全体线性函数组成的集合为V,则在V内定义加法与数乘如下 (i)f,g∈V,(∫+g)(a)=f(a)+g(a); (ilf∈V,k∈K,(kf)(a)=kf(a 则V关于上述加法、数乘组成K上的线性空间,称为V的对偶空间,记作(V,K) 定义122对偶基 假设同定义12.1,定义V内n个线性函数 f(En)=δn(,j=1,2,,n) (由前面的知识,不难知f(a)知存在且是唯一的),则f1,f2,fn构成V的一组基,称这 组基为V内E1E2…En则组基的对偶基。(事实上,我们很容易说明∫1,2…,J线性无关, 再f∈V均可被f1,12…,线性表出。) 12.1.2线性空间的多线性函数、多线性映射的定义(双线性函数的推广) 名词笛卡尔乘积 设A,A2…,A是k个非空集合,定义一个新集合如下: A1×A2x…×A4={( )|a2∈A1} 这个新的集合称为集合A1,A2,…,A的笛卡尔乘积 定义123多线性函数、多线性映射 设H1…Vk,W是域K上的线性空间,由设f是从笛卡尔乘积Vx…×V到W的一个 集合间的映射,满足如下条件:V2,H∈K,v,l≤i≤k,有 f(a1…,ar+B,…,∝k)=Af(a1,…,a1,…,a)+Hf(a1…,B,…,ak) 即映射∫对每个变元a1∈V来说都是线性的,则称∫是从V×…×V到W的一个多线性映 射 当k=2时,也称∫是双线性映射第二学期第二十七次课 第十二章 张量积与外代数 §1 多重线性映射 12．1．1 线性空间的一组基的对偶基的定义 定义 12.1 对偶空间 设 v 是 k 上 n 维 线 性 空 间 ， 1 2 , ,..., n    是 v 的 一 组 基 ， 则 线 性 函 数 f :V  K(K为数域) 被 f 在此组基下的映射法则决定，即 1 2 ( ), ( ),..., ( ) n f  f  f  已给定。 现设V 内全体线性函数组成的集合为 * V ，则在 * V 内定义加法与数乘如下： * * (i) , ,( )( ) ( ) ( ); (ii) , ,( )( ) ( ). f g V f g f g f V k K kf kf             则 * V 关于上述加法、数乘组成 K 上的线性空间，称为V 的对偶空间，记作 (V,K) . 定义 12.2 对偶基 假设同定义 12.1，定义V 内 n 个线性函数 ( ) ( , 1,2,..., ) i ij ij f    i j  n (由前面的知识，不难知 ( ) i f  知存在且是唯一的)，则 1 2 , ,..., n f f f 构成 * V 的一组基，称这 组基为V 内 1 2 , ,..., n    则组基的对偶基。（事实上，我们很容易说明 1 2 , ,..., n f f f 线性无关， 再 * f V 均可被 1 2 , ,..., n f f f 线性表出。） 12．1．2 线性空间的多线性函数、多线性映射的定义（双线性函数的推广） 名词 笛卡尔乘积 设 1 2 , ,..., A A Ak 是 k 个非空集合，定义一个新集合如下： 1 2 1 2 {( , , , ) | }. A A Ak k i i    a a  a a  A 这个新的集合称为集合 1 2 , ,..., A A Ak 的笛卡尔乘积。 定义 12.3 多线性函数、多线性映射 设 1 ,..., , V Vk W 是域 K 上的线性空间，由设 f 是从笛卡尔乘积V1 Vk 到W 的一个 集合间的映射，满足如下条件：,  K,i,1 i  k ，有 1 1 1 ( , , , , ) ( , , , , ) ( , , , , ), i i k i k i k f          f        f      即映射 f 对每个变元i Vi 来说都是线性的，则称 f 是从V1 Vk 到W 的一个多线性映 射。 当 k  2 时，也称 f 是双线性映射