如果W=K,则称∫为定义在集合H×…×V上的多重线性函数。 当k=2时,也称∫是定义在1x…×V上的双线性函数 §2线性空间的张量积 12.2.1域K上的二线性空间的张量积的定义(归纳地有多个张量积的定义 定义124设V1V2W是域K上的线性空间。彐双线性映射q,V1V2W, 如果对任意双线性映射a:H×H2→U(U为域K上的任意线性空间),都有唯一的线性映 射v:W→>U时的下图表交换 W 亦即G=v,则称(W,q)为H×V2的张量积,简记为W,或更多的时候记作vH2 定理域K上的二线性空间的张量积存在,并且在同构意义下是唯一的 证明取V得一组基E1…,En,V2的一组基m,…,n,取m个文字 51,5my,1,5m,令W为{5n}生成的k一线性空间,即W=∑k15|k∈K}(线 性的定义W上的加法和数乘) 令q:H1x2→形即∑k,∑1n)→∑k5,易验证是双线性映射 对于任一双线性映射a:V1×V2→>U由 W U可(,7) 得:v:5b(E,m),则对于任一(a,B)∈Wx2(设a=∑k,B=∑1),有如果W  K ，则称 f 为定义在集合V1 Vk 上的多重线性函数。 当 k  2 时，也称 f 是定义在V1 Vk 上的双线性函数。 §2 线性空间的张量积 12．2．1 域 K 上的二线性空间的张量积的定义（归纳地有多个张量积的定义） 定义 12.4 设 1 2 V ,V ,W 是域 K 上的线性空间。 1 2 ,V V W  双线性映射   ， 如果对任意双线性映射 1 2  :V V U （U 为域 K 上的任意线性空间），都有唯一的线性映 射 :W U 时的下图表交换： 亦即  ，则称(W,) 为V1 V2 的张量积，简记为W ，或更多的时候记作V1 V2 。 定理 域 K 上的二线性空间的张量积存在，并且在同构意义下是唯一的 证 明 取 V1 得 一 组 基 1 ,..., m   ， V2 的 一 组 基 1 ,...,  n ， 取 mn 个 文 字 11 1 ,..., ,..., ,..., n ij mn     ，令W 为{ }ij  生成的 k  线性空间，即W = , { | } ij ij ij i j k  k K （线 性的定义W 上的加法和数乘）。 令 1 2  :V V W 即 , ( , ) i i j j i j ij i j k  l   k l  ，易验证 是双线性映射。 对于任一双线性映射 1 2  :V V U 由 得： : ( , );  ij i j     则对于任一 ! 2 (,  )V V , （设 , i i j j   k    l  ），有   W U     W U   ij  ( , )  i j  