2.把y=c+cx+2c+1带入得到 (x+2)+√x2+4x+4y-(x+2)+√(x+2c+1)2 因此对任意常数cy=c2+cx+2c+1是方程的解,在C≤一时满足 把 x(x+4) 4带入方程中易得:F=~N(x+4)也是方程的解 4 1) y=x2,4y=2,5y=e,6)y=√ 7)y=sin x, 8)y=e 4代入验证即可,y=cx+c2 5将y=0,y=x/16带入方程,易证是方程的解,此结果与存在唯一性不矛盾,因为第 二个解是当y>0时才成立的。 6证明:把y=(x)代入方程有,d(x) a=∫((x),令x+x+1代入,则得证。区间是 a-c<x<b-c 7解:设1时刻书体的速度是v.则物体的运动方程是a=-8,到达最高点的时间是2秒 高度是30米。 8.(1)水面随时间变低(3)设t时刻液面高度是M0,由体积相等有-a21=R2m 9.没有变化 10.解分别是:y= 第一个解在任意区间均存在,第二个 - sIn x sInx 解在x≠2k丌+乙和x≠2kx+时存在。对于y(x)=y,当小1>1时,区间任意,当 y是其它的情况是,只要满足分母不为零即可。 1l.y≠1且y0≠0时,极限存在且为-1;y=0时,极限时0;y=1时,极限是1。 12n(x)-y(x)≤ 分(x-x),其中M=ma(xyL是 Liapunov常数 13反证法(略) l4Pad迭选代函数是(x)=「[+1+p-(s),=0,极限是y=2e-2-x 15证明:反证法,我们只证明x>x0的情况,小于的情况类似。2. 把 2 1 2 y = c + cx + c + 带入得到 c y x x x y x x c = = ′ − + + + + = − + + + + 2 ( 2) ( 2( 1)) 2 ( 2) 4 4 2 2 因此 对任意常数 c 2 1 2 y = c + cx + c + 是方程的解，在 C 2 −1 ≤ 时满足 把 4 − ( + 4) = x x y 带入方程中易得： 4 − ( + 4) = x x y 也是方程的解。 3. 1) y= 2 x ， 2)y= x e 5 ，3)y=x2 /2，4)y=2，5)y=ex ，6) y = x 7) y=sin x ，8)y=ex , 4.代入验证即可，y=cx+ 2 c , 5.将 y=0， /16 4 y = x 带入方程，易证是方程的解，此结果与存在唯一性不矛盾，因为第 二个解是当 y>0 时才成立的。 6.证明：把 y = φ(x) 代入方程有， ( ( )) ( ) f x dx d x φ φ = ，令 x → x +1代入，则得证。区间是 a − c < x < b − c 7.解：设 t 时刻书体的速度是 v(t),则物体的运动方程是 g dt dv = − ，到达最高点的时间是 2 秒， 高度是 30 米。 8.（1）水面随时间变低（3）设 t 时刻液面高度是 h(t)，由体积相等有 dt dh a v R 2 2 − = 9. 没有变化 10.解分别是： 3 (2 sin ) 1 x y − = 和 3 sin ) 2 1 ( 1 x y − = ，第一个解在任意区间均存在，第二个 解在 6 2 π x ≠ kπ + 和 6 5 2 π x ≠ kπ + 时存在。对于 0 y(π ) = y ，当ly0l > 1时，区间任意，当 0 y 是其它的情况是，只要满足分母不为零即可。 11.当 y0 ≠ 1且 y0 ≠ 0 时，极限存在且为－1；y＝0 时，极限时 0；y=1 时，极限是 1。 12. 1 0 ( ) ( 1)! ( ) ( ) + − + − ≤ n n n x x n ML φ x φ x ，其中 M=max f (x, y) ,L 是 Liapunov 常数 13 反证法（略） 14.Picard 迭代函数是 x s s ds x n = ∫ + + n− 0 1 φ ( ) [( 1 φ ( )] ，φ 0 = 0 ，极限是 y e x x = 2 − 2 − 15.证明：反证法，我们只证明 0 x > x 的情况，小于的情况类似