令h(x)=(x)-(x),则(x0)=0,A(x)连续可导,由于∫(x0,y0)<F(x0,y) h(x0)>0,故在x0的一个邻域内必有h(x)>0,若有一点x1,x1>x0,使得h(x1)=0, 不妨假设x是使得h(x)=0的最靠近的点,则叭(x1)=v(x1),且 h(x1)≤0h(x)=F(x1v(x1))-f(x1,p(x1)>0,矛盾,所以当x>x0时h(x)必 然大于零。 16证明:若x0是有限值,由于p(x)→y0,(x→x0)且中(x)=f(x),在x=x0的邻域内连 续有解,函数v(x)= ∫(x),x≠x 就是一个可微函数。事实上,v(x)在下x≠x0虽然连 续可微,当x=x,(x)=mn如(x)-v(x) x-=im(x)-=m(c)=f(x,) 因此v(x)是方程满足v(x0)=y的解,有解的存在唯一性定理得:v(x)=y,即叭(x) 是常数解,矛盾 17程序如下 )>DEtools [dfieldplotI ([diff(y(x),x)=y(x)*exp(-x^2)],y(x),x=-2..2,y=-2.,2,dir grid=[9, 9], arrows=LINE, axes=NORMAL)i 这里只给第一题的程序,其他的类似 18.答案:(x0+ 1q(x0) p(ro) p(ro) 19证明:设该方程的积分曲线是y=(x),则φ(x)=xgx+1-p(x)gx,当此曲线与oy 轴相交时,x=0,(0)=1,故所有的切线斜率均是1,相互平行。 20证明:若y=p(x)有拐点(x1,y则必有y1=以(x1)且φ(x1)=0,因此得出 o(x=f(x,(x)) φ(x)=fx(x,p(x)+f,(x,(x))f(x,p(x)),在等倾线上∫(x,y)=c,两边关 f(x,y) 于x求导,有y=“少、为等倾线斜率,中(x)为积分曲线的斜率,由φ(x)=0 即p(x)=y,故在拐点处积分曲线与等倾线相切。 返回目录令h(x) =ψ(x) −φ(x) ，则 h(x0 ) = 0， h(x) 连续可导，由于 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y < F x y ( 0 ) 0 ' h x > ，故在 0 x 的一个邻域内必有 h(x) > 0 ，若有一点 1 x ， 1 0 x > x ，使得 ( ) 0 h x1 = ， 不妨假设 1 x 是使得 h(x) = 0 的最靠近的点，则 ( ) ( ) 1 1 φ x =ψ x ， 且 ( 1 ) 0 ' h x ≤ ( 1 ) ( 1 , ( 1 )) ( 1 , ( 1 )) 0 ' h x = F x ψ x − f x φ x > ，矛盾，所以当 0 x > x 时 h(x) 必 然大于零。 16.证明：若 0 x 是有限值，由于 ( ) ,( ) 0 0 φ x → y x → x 且 0 ' φ (x) = f (x),在x = x 的邻域内连 续有解，函数 ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = , ( ), ( ) 0 0 y x x x x φ ψ 就是一个可微函数。事实上， 0 ψ(x)在下x ≠ x 虽然连 续可微，当 0 x = x ， ( , ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 ' 0 0 0 0 0 ' f x y x x c x x x y x x x x x = − = − − = − − = ψ ψ ψ φ ψ 因此 o (x) (x ) = y ψ 是方程满足ψ 0 的解，有解的存在唯一性定理得： 0 ψ(x) = y ，即φ(x) 是常数解，矛盾。 17.程序如下 1) > DEtools[dfieldplot] ¾ ([diff(y(x),x)=y(x)*exp(-x^2)],y(x),x=-2..2,y=-2..2,dir grid=[9,9],arrows=LINE,axes=NORMAL); 这里只给第一题的程序，其他的类似 18．答案： ) ( ) ( ) , ( ) 1 ( 0 0 0 0 p x q x p x x + 19.证明：设该方程的积分曲线是 y = φ(x) ，则 (x) xtgx 1 (x)tgx ' φ = + −φ ，当此曲线与 oy 轴相交时， 0, (0) 1 ' x = φ = ，故所有的切线斜率均是 1，相互平行。 20.证明：若 y = φ(x) 有拐点( , ), ( ) ( 1 ) 0 ' x1 y1 则必有y1 = φ x1 且φ x = ，因此得出 ( ) ( , ( )) 1 ' φ x = f x φ x ( ) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) '' x f x x f x x f x x φ = x φ + y φ φ ，在等倾线上 f (x, y) = c ，两边关 于x求导，有 ( , ) ( , ) ' f x y f x y y y x = − ，为等倾线斜率， ( ) ( ) 0 φ' x 为积分曲线的斜率，由φ’ x ＝ , 即 ' ' φ (x) = y ，故在拐点处积分曲线与等倾线相切。 返回目录