0 0 综上所述,得关于方程组(1)的基础解系定理 定理2(i)当R(A)=n时,(1)仅有零解,无基础解系 (ⅱ)当R(A)=r<n时,(1)有基础解系(6),(1)的解可表示为 a=k1a1+k2a2+……+ k a (7) 其中k1,…kn为任意实数。(7)称为方程组(1)的通解(一般解) 注:(1)的任何nR(A)个线性无关解向量都是(1)的基础解系 0 例1:求齐次线性方程组 x1+x2-2x3+3x4=0 的一个基础解系和通解 3x1-x2+8x3+x4=0 +3x2-9x2+7x=0 解:将增广矩阵变为三阶梯形(用行初等变换) 1-15-1:0 11-23:0 02-74:0 02-74:0 3-181:0102-74:0 0000:0 13-97:0 -148:0 0000:0 原方程组同解于 x1-x2+5x3-x4=0 2x2-7x3+4x4=0 5x2 即 (x,x为自由未知量) 2x2=7x3-4 分别取 7                    n r a a a a   2 1                     = + 0 1 1 11 1   r r b b a                       + + 0 0 2 22 12 2   r r b b b a                     + + 0 0 1    rn n n b b a 综上所述，得关于方程组（1）的基础解系定理 定理 2 （i ）当 R(A) = n 时，（1）仅有零解，无基础解系。 （ii）当 R(A) = r  n 时，（1）有基础解系（6），（1）的解可表示为  n r n r k k k = 11 + 2 2 ++ −  − （7） 其中 n r k k − , , 1  为任意实数。（7）称为方程组（1）的通解（一般解） 注：（1）的任何 n- R(A) 个线性无关解向量都是（1）的基础解系。 例 1：求齐次线性方程组        + − + = − + + = + − + = − + − = 3 9 7 0 3 8 0 2 3 0 5 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系和通解。 解：将增广矩阵变为三阶梯形（用行初等变换）               − − − − − 1 3 9 7 0 3 1 8 1 0 1 1 2 3 0 1 1 5 1 0     →               − − − − − 0 4 14 8 0 0 2 7 4 0 0 2 7 4 0 1 1 5 1 0     →               − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 7 4 0 1 1 5 1 0     原方程组同解于    − + = − + − = 2 7 4 0 5 0 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x 即    = − − = − + 2 3 4 1 2 3 4 2 7 4 5 x x x x x x x （ 3 4 x , x 为自由未知量） 分别取         4 3 x x =         0 1 ，         1 0 得         2 1 x x =             − 2 7 2 3 ，         − − 2 1