第六章常微分方程 由于系数行列式:y(x (x)y2(x1) y(x1)y2(x) =W(x)≠0,因而总有唯一解 (,c2)。这就证明了,线性无关的两个函数{v(x)y2(x)张成了齐次方程 L(D)x=0的解空间。 3)。非齐次方程L(Dx=f(0)之解 非齐次方程L(D)x=f()意两个解之差是齐次方程L(D)x=0的解 因此,如果已知方程L(Dx=f()有一个特解X(),那么它的每个解都可以 表示为x(1)=X(1)+x(1),其中x()是齐次方程L(D)x=0的解 例如:方程x+c2x=a 与相应的齐次方程x+c2x=0 不难验证,snot, cos ot是齐次方程的两个线性无关解, 是非齐次方程的一个特解 因此齐次方程的通解是x(1)= c sIn at+ c, cos at 而非齐次方程的通解为y(1)==2+ C sin ot+ C, cos or (三)线性方程解的求解:观察待定法。 设有二阶齐次方程:L(D)y=y"+p(x)y+qx)y=0, 若己知二阶齐次方程L(D)y=0的一个特解y(x),用变动任意常数法 设y2(x)=c(x)y(x),代入方程可求出另一个无关特解。 若己知二阶齐次方程L(D)y=0的二个无关特解,y1(x)y2(x),用变动 任意常数法, iy()=c()y(x)+c()y(x), 代入方程,可求出非齐次方程L(D)y=f()的一个特解 第六章常微分方程第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 由于系数行列式: ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) 0 1 1 2 1 1 1 2 1 =            W x y x y x y x y x , 因而总有唯一解 ( ) 1 2 c ,c 。 这就证明了，线性无关的两个函数 y1 (x), y2 (x) 张成了齐次方程 L(D)x = 0 的解空间。 (3)。非齐次方程 L(D)x = f (t) 之解 非齐次方程 L(D)x = f (t) 任意两个解之差是齐次方程 L(D)x = 0 的解; 因此，如果已知方程 L(D)x = f (t) 有一个特解 X(t), 那么它的每个解都可以 表示为 x(t) = X (t) + x(t) ,其中 x(t) 是齐次方程 L(D)x = 0 的解. 例如:方程 '' x + x = a 2  与相应的齐次方程 '' x + x = 2  0. 不难验证,sin t,cost 是齐次方程 的两个线性无关解, a 2  是非齐次方程 的一个特解. 因此,齐次方程的通解是 x(t) = c1 sint +c2 cost. 而非齐次方程的通解为 y t a ( ) = + c sin t + c cos t 2 1 2    . (三) 线性方程解的求解：观察待定法。 设有二阶齐次方程: L(D)y = y  + p(x)y  + q(x)y = 0 , ⚫ 若己知二阶齐次方程 L(D)y = 0 的一个特解 y (x) 1 ，用变动任意常数法, 设 y (x) c(x)y (x) 2 = 1 ，代入方程 可求出另一个无关特解。 ⚫ 若己知二阶齐次方程 L(D)y = 0 的二个无关特解， y (x) y (x) 1 2 , , 用变动 任意常数法, 设 Y(x) c (x)y (x) c (x)y (x) = 1 1 + 2 2 , 代入方程, 可求出非齐次方程 L(D)y = f (t) 的一个特解