第六章常微分方程 (1)由多项子微分算子L(D)=D2+p(x)D+qx)的线性运算可知解集S 是一线性空间。 (2)线性空间S是二维的,即有二个无关解,构成基 (2-1)由解的存在唯一性定确定两个解: y1(x)是满足条件 LD)y=O y(x0)=1y(x0)=0 之解; y2(x)是满足条件 L(D)y=0 y(x)=0y(x)=1 可断言两个解无关解因为其郎斯基行列式在x=x0处不为零, ()=(x)y(x)=1=1 (x0)y2(x (2-2)进一步可证该郎斯基行列式恒不为零.因为 W(x)= (x)y2,(x vi(x)y2() W"(x)= (x)y2())()y2( x)y()y2( i()yiG)v(x)y(xvi(x)y2( VI W y2 V1+qy, py2+qy2 w"'(x)=-p(x)w(x) →W(x)=e 0,Vx∈ (2-2)最后,证明这两个解张成上述方程之解空间:即可证: x1∈l,V(,y),方程 LD)y=0 ly(x,)=yo, y(x,)=ya 之解y(x) 都可表成:y(x)=cy1(x)+c2y2(x)。事实上, 利用初始条件,确定常数,得代数方程 n(x1)y2(x) vi()yi(cya 第六章常微分方程第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 (1) 由多项子微分算子 L(D) = D + p(x)D + q(x) 2 的线性运算可知解集 S 是一线性空间。 (2) 线性空间 S 是二维的，即有二个无关解，构成基。 (2-1) 由解的存在唯一性定确定两个解： y (x) 1 是满足条件 ( ) ( ) ( )    =  = = 1, 0 0 0 0 y x y x L D y 之解; y (x) 2 是满足条件 ( ) ( ) ( )    =  = = 0 1 0 0 0 y x y x L D y 之解 可断言两个解无关解. 因为其郎斯基行列式在 0 x = x 处不为零， 即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 0 1 0 2 0 1 0 2 0 0 = =   = y x y x y x y x W x (2-2) 进一步可证该郎斯基行列式恒不为零. 因为, ( ) ( ) ( ) y (x) y (x) y x y x W x 1 2 1 2   = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y (x) y (x) y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x W x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2   =     +      = ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 y y y y p x p y q y p y q y y y W x   = −  +  +  = − ( ) ( ) ( ) ( )    =  = − W x0 1 W x p x W x  ( ) ( ) W x e x I x x p x dx     = − 0, 0 ; (2-2) 最后，证明这两个解张成上述方程之解空间：即可证： ( ) 1 0 0 x  I, y , y  , 方程 ( ) ( ) ( )    =  =  = 1 0 1 0 , 0 y x y y x y L D y 之解 y(x), 都可表成： y(x) c y (x) c y (x) = 1 1 + 2 2 。事实上， 利用初始条件,确定常数，得代数方程： ( ) ( ) ( ) ( )          =                  0 0 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 y y c c y x y x y x y x ;