第六章常微分方程 6-2-1线性方程解的结构 (一)函数的线性相关性: 1)定义:在区间(a,b)上的n个函数x,()i=1…,n线性相关,是指, 存在n个不全为零的常数c,i=1,…,n,使得 x∈(nb)∑cx(0)=0 否则称x,()=1…,n为线性无关 2)性质 若n个函数x()i=1,…,n线性相关→郎斯基(Wony)行列式W恒 x X 为零,即:B()-x)x0 x'() ()x-)2(0…x-yn() 若存在x∈(anb),使得W(x)≠0→函数x、()i=1…,n线性无关。 例如:设,A2,Lm∈R互不相等,则函数e,e,e在任意区间/上 线性无关 (二)线性方程解的结构 (1)若x(1).x()都是方程L(D)x=0的解则对任意常数a,C 函数c1x1(1)+c2x2(1)也是该方程的解 证明:只要利用多项式微分算子L(D)的线性性即可 (2)方程L(D)x=0的所有解构成一个n维线性空间,其中任意n个线性无 关的解,x,()i=1…,n,构成该空间的一组基。 证明:L(D)x=0的所有解构成线性空间是明显的 关键要证明它是n维的,即要证恰有n个线性无关之解 为此要用到解存在唯一性定理。今以二阶为例,高阶证法一样 设有二阶齐次方程:L(D)y=y”+p(x)y+qx)y=0,下面证明:其 解集S是一个之维的线性空间。设p(x)q(x)在/中连续 第六章常微分方程第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 6-2-1 线性方程解的结构 (一) 函数的线性相关性： 1) 定义： 在区间 (a,b) 上的 n 个函数 xi (t), i = 1,  ,n 线性相关，是指， 存在 n 个不全为零的常数 ci , i = 1,  ,n ，使得 ( , ), ( ) 0 1    = = n i i i x a b c x t ; 否则称 xi (t), i = 1,  ,n 为线性无关. 2) 性质： ⚫ 若 n 个函数 xi (t), i = 1,  ,n 线性相关  郎斯基(Wronsky)行列式 W 恒 为零, 即： W(x)= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t x t x (t) x t x t x t x t x t x t n n n n n n 1 2 1 1 1 1 2 1 2 − − −            0 ⚫ 若存在 x (a,b), 使得 W(x)  0  函数 xi (t), i = 1,  ,n 线性无关。 例如:设 1 ,2 ,...,m R 互不相等, 则函数 1t 2t  t e e e m , ,..., 在任意区间 I 上 线性无关. (二) 线性方程解的结构 (1)若 x1 (t), x2 (t) 都是方程 L(D)x = 0 的解,则对任意常数 c1 ,c2 , 函数 c1 x1 (t) + c2 x2 (t) 也是该方程的解. 证明：只要利用多项式微分算子 L(D) 的线性性即可。 (2) 方程 L(D)x = 0 的所有解构成一个 n 维线性空间, 其中任意 n 个线性无 关的解， xi (t), i = 1,  ,n , 构成该空间的一组基。 证明： L(D)x = 0 的所有解构成线性空间是明显的； 关键要证明它是 n 维的，即要证恰有 n 个线性无关之解. 为此要用到解存在唯一性定理。今以二阶为例，高阶证法一样。 设有二阶齐次方程: L(D)y = y  + p(x)y  + q(x)y = 0 , 下面证明：其 解集 S 是一个之维的线性空间。设 p(x),q(x) 在 I 中连续