第六章常微分方程 第六章常微分方程 6-2高阶线性方程 6-2-1线性方程解的结构 6-2-2高阶线性常系数方程的解 6-2-3 Euler方程 第二十二讲高阶线性方程() 课后作业: 阅读:第六章6-1pp.189-194 预习:第六章6-2pp.194199 作业题:p.199习题21,(2),(4);2;3,(2) 引言 n阶线性微分方程的一般形式为 dx d t (1)x=∫(1) d t d 其中a(t)=1,2,,m)以及f()都是区间上的已知连续函数当f()≡0 时、(31)变成相应的齐次方程 +a1(1 dx (1),+.+an(1)x=0 dt 为简便计,记:k阶导数符号D d,及多项式微分算子: +a1(D)D”+a2(D)D2+…+an(D) 这样n阶线性齐次微分方程可表成:L(Dx=0 n阶线性非齐次微分方程可表成:L(D)x=f() 易于验证,算子对函数的作用具有线性性。 对于n阶线性微分方程解的存在唯一性定理 定理:设方程L(D)x=f()中的系数a(0)(=12,,m)以及非齐次项 f()都是区间上的已知连续函数,t∈1.则对于任意一组实数 5,5,…,1,方程满初值条件 x(t)=50x(to)= 的解在区间I上存在唯 第六章常微分方程第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 6-2 高阶线性方程 6-2-1 线性方程解的结构 6-2-2 高阶线性常系数方程的解 6-2-3 Euler 方程 第二十二讲 高阶线性方程(一) 课后作业： 阅读：第六章 6-1 pp. 189—194 预习：第六章 6-2 pp. 194—199 作业题: p.199 习题 2 1, (2), (4); 2; 3,(2) 引言： ⚫ n 阶线性微分方程的一般形式为 n n n n n n d x d t a t d x d t a t d x d t + + + +a t x = f t − − 1 − 1 1 ( ) 1 ( ) .... ( ) ( ) 其中 ai(t)(i = 1,2,...,n) 以及 f (t) 都是区间 I 上的已知连续函数.当 f (t)  0 时,(3.1)变成相应的齐次方程: n n n n n n d x d t a t d x d t a t d x d t + + + +a t x = − − 1 − 1 1 ( ) 1 ( ) .... ( ) 0 为简便计，记： k 阶导数符号 k k k dx d D = , 及多项式微分算子： ( ) ( ) ( ) .... ( ) 2 2 1 1 L D D a t D a t D a t n n n n = + + + + − − , 这样 n 阶线性齐次微分方程可表成： L(D)x = 0 n 阶线性非齐次微分方程可表成： L(D)x = f (t) 易于验证，算子对函数的作用具有线性性。 ⚫ 对于 n 阶线性微分方程解的存在唯一性定理: 定理: 设方程 L(D)x = f (t) 中的系数 ai(t)(i = 1,2,...,n) 以及非齐次项 f (t) 都是区间 I 上的已知 连 续 函 数 , t0 I . 则对于任意一组实数 0 1  1 , ,.., , n− 方程满初值条件: x t x t x t n n ( ) , ( ) ,..., ( ) ' ( ) 0 0 0 1 1 0 = = = 1 −    − 的解在区间 I 上存在唯一