线性代数第一章讲稿 性质3:行列式的某一行(列)中所有元素乘以同一数k,等于用k乘行列式 a 即:D kD。 n 证明:D的一般项为(-1)(2)a1a212am,D1的一般项为 1)N(j2…in)A kai).ani=k[1) 所以D=D。 推论1:若行列式某行(列)的所有元素有公因子,则公因子可提到行列式外面。 推论2:若行列式的两行(列)对应元素成比例,则行列式为0。如 35 a1 性质4:若D=bn+cnb2+cn…bn+cl,且D1=|bb2…bn, a12 cn,则D=D+D2 性质5:将行列式某一行(列)中各元素同乘数k加到另一行(列)中对应元素上,行 列式值不变 证:P16 利用行列式的性质计算行列式 说明:1)利用行列式的性质,将行列式化成上(下)三角行列式,即可计算出其值 2)用r表示行运算,用c表示列运算。线性代数第一章讲稿 第一章- 7 - 性质 3：行列式的某一行（列）中所有元素乘以同一数 k ，等于用 k 乘行列式。 即： n n nn n n a a a a a a a a a D ... ... ... ... ... ... ... 1 2 21 22 2 11 12 1 = ， n n nn i i in n a a a ka ka ka a a a D ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 2 1 2 11 12 1 1 = kD a a a a a a a a a k n n nn n n = = ... ... ... ... ... ... ... 1 2 21 22 2 11 12 1 。 证明： D 的一般项为 n n j j nj N j j j ( 1) a a ...a 1 2 1 2 1 2 ( ... ) − ， D1 的一般项为 i n n j j ij nj N j j j ( 1) a a ...(ka )...a 1 2 1 2 1 2 ( ... ) − = [( 1) ... ] 1 2 1 2 1 2 ( ... ) n n j j nj N j j j k − a a a ， 所以 D1 = kD。 推论 1：若行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可提到行列式外面。 推论 2：若行列式的两行（列）对应元素成比例，则行列式为 0。如： 0 1 3 5 2 4 6 1 2 3 = 性质 4：若 n n nn i i i i in in n a a a b c b c b c a a a D ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 2 1 1 2 2 11 12 1 = + + + ，且 n n nn i i in n a a a b b b a a a D ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 2 1 2 11 12 1 1 = ， n n nn i i in n a a a c c c a a a D ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 2 1 2 11 12 1 2 = ，则 D = D1 + D2。 性质 5：将行列式某一行（列）中各元素同乘数 k 加到另一行（列）中对应元素上，行 列式值不变。 证：P16。 二．利用行列式的性质计算行列式。 说明：1）利用行列式的性质，将行列式化成上（下）三角行列式，即可计算出其值； 2）用 r 表示行运算，用 c 表示列运算