线性代数第一章讲稿 §3.行列式的性质 问题提出:从行列式的定义可知,计算n阶行列式,要计算n项的代数和,且每项又是 不同行不同列的n个元素的乘积。当n较大时,计算量非常大,一般不采用定义计算行列式 因此,有必要进一步讨论行列式的性质,利用行列式的性质,可以简化行列式的计算 行列式的性质 Def:行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式,记为D或D 性质1:转置行列式与原行列式值相等,即D=D。 证明:行列式D的一般项为(-1))a1a21…an,在D中这n个元素 的乘积为112…a1,n,符号为(-1)=)02”=(-1)的-),即D与D具有相 同的项,所以D=D。 注:行列式对行成立的性质对列也同样成立。 性质2:交换行列式的两行(列),行列式改变符号 证明:设D ,交换第i行与第s行得D1 a D的一般项中n个元素的乘积为a122…a1…a nun, 符号为(-1)(12.)NO---m) 在D的一般项中n个元素的乘积为a11a22…asn…an…anJn, 符号为(-1) N(12.s1n)+N(i1…J1jx…n) 而N(12.1.S.m)与N(12..1,n)奇偶性相反,所以D1=-D。 推论:若行列式中的两行(列)对应元素相同,则此行列式为0。 D=D→D=0 第一章-6线性代数第一章讲稿 第一章- 6 - §3.行列式的性质 问题提出：从行列式的定义可知，计算 n 阶行列式，要计算 n! 项的代数和，且每项又是 不同行不同列的 n 个元素的乘积。当 n 较大时，计算量非常大，一般不采用定义计算行列式， 因此，有必要进一步讨论行列式的性质，利用行列式的性质，可以简化行列式的计算。 一、行列式的性质 Def：行列式 D 的行与列互换后得到的行列式称为 D 的转置行列式，记为 T D 或 D ， 即 n n nn n n a a a a a a a a a D ... ... ... ... ... ... ... 1 2 21 22 2 11 12 1 = ， n n nn n n T a a a a a a a a a D ... ... ... ... ... ... ... 1 2 12 22 2 11 21 1 = 。 性质 1：转置行列式与原行列式值相等，即 T D = D 。 证明：行列式 D 的一般项为 n n j j nj N j j j ( 1) a a ...a 1 2 1 2 1 2 ( ... ) − ，在 T D 中这 n 个元素 的乘积为 ai ai ai n n ... 1 1 2 2 ，符号为 ( ... ) (12... ) 1 2 ( 1) N i i in +N n − = ( ... ) 1 2 ( 1) n N i i i − ，即 D 与 T D 具有相 同的项，所以 T D = D 。 注：行列式对行成立的性质对列也同样成立。 性质 2：交换行列式的两行（列），行列式改变符号。 证明：设 n n nn s s sn i i in n a a a a a a a a a a a a D ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 2 1 2 1 2 11 12 1 = ，交换第 i 行与第 s 行得 n n nn i i in s s sn n a a a a a a a a a a a a D ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 2 1 2 1 2 11 12 1 1 = ， D 的一般项中 n 个元素的乘积为 j j ij sj n n a a a a a j i s ... ... ... 1 1 2 2 ， 符号为 (12... ... ... ) ( ... ... ... ) 1 ( 1) i s n N i s n +N j j j j − ， 在 D1 的一般项中 n 个元素的乘积为 j j sj ij n n a a a a a j i s ... ... ... 1 1 2 2 ， 符号为 (12... ... ... ) ( ... ... ... ) 1 ( 1) i s n N s i n +N j j j j − ， 而 N(12...i...s...n) 与 N(12...s...i...n) 奇偶性相反，所以 D1 = −D 。 推论：若行列式中的两行（列）对应元素相同，则此行列式为 0。 − D = D  D = 0