而|a代表了在状态v中包含状态vk的几率,也就是在状态v下测量完备力学量集的各力学量,得 到vk所对应的那些本征值的几率。这就是波函数的几率解释的一般表述。现在v的归一化同时体现为 (vv)=∑|aP2=1 但是严格说来,我们在这里还有一个问题需要交代。前面我们说“任何状态v都可以展开为v的 线性组合”,那么有什么条件能保证这个展开一定是可行的呢?显然,只有在{k}“足够多”的时候 它们的线性组合才能表达任意的波函数,换句话说,{vk}这个函数系必须是“完备的”。 函数系的“完备性”是一个比较复杂的问题。我们在这里仅以一元函数为例加以说明。如果一个正 交归一函数系{un(x)}能使展开式 v(x)=∑an1(x) 对任何v(x)都成立,我们就称这个函数系是“完备的”。那么在什么情况下{un(x)}是完备的呢?把 a,=(u,(x),(x)=u(x)w(x)ar 再代回上式,我们得 因为y(x)是任意的,所以必须有 ∑un(x)u2(x')=b(x-x) 这个条件就称为函数系{un(x)}的“(强)完备性条件”。反过来说,如果上式成立,我们就可以借助 v(x)=∫o(x-x)(x)dx2=∑u1(x(x)v(x)d =∑1(x)x(x)d 得到v(x)在{un(x)}上的展开式。这里要注意别把完备性条件和正交归一条件弄混,后者是 ∫n(x)nx)tr=m 我们在上面很容易就证明了 Hermitian算符本征函数系的正交性,但是要证明它的完备性显然要困 难得多,因为完备函数系一定包含了无穷多个函数,而完备性是这无穷多个函数的“整体性质”。当然 在数学上,“什么样的算符的本征函数系是完备的”这个问题是有答案的,但是我们不想做详细的介绍 了(请参看教材)。从物理上说,函数系的完备性尽管很重要,我们却经常不对它做严格的证明。一方 面这是因为有些函数系的完备性已经由数学家证明过,另一方面也是因为物理上的“完备性”通常只意 味着取这些基本函数来展开我们要研究的波函数已经“足够多”了,而这并不是数学意义上的完备性 比如这些基本函数的数目经常不是无穷多。 8.不确定关系的准确形式 与[F,G=0的情形相反,如果[F,G]≠0,那么F和G就不能同时有确定值。比如,我们已经知 道[x,p3]=ih≠0,同时又从粒子波动性实验的直接分析中看到了△x·4≈h,所以这二者必然是有 的联系的。下面我们就从[FG]≠0导出F和G的不确定关系的准确描写。 定义偏差算符为: △F=F-F,(F是F的平均值) 那么 △F=(F-F)=F-F=0, (AF)2=(F-F)2=(F2-2FF+F2)=F2-2FF+F2=F2-F2 (△F)2这个量(所谓“均方偏差”)就描写了力学量户的测量值的偏差程度。如果[F,G]=iC≠0,那 么(AF)2和(△G)2有什么关系?计算的方法如下。4 而 2 | | k a 代表了在状态  中包含状态  k 的几率，也就是在状态  下测量完备力学量集的各力学量，得 到  k 所对应的那些本征值的几率。这就是波函数的几率解释的一般表述。现在  的归一化同时体现为 2 ( , ) | | 1. k k   = =  a 但是严格说来，我们在这里还有一个问题需要交代。前面我们说“任何状态  都可以展开为  k 的 线性组合”，那么有什么条件能保证这个展开一定是可行的呢？显然，只有在 { }  k “足够多”的时候， 它们的线性组合才能表达任意的波函数，换句话说， { }  k 这个函数系必须是“完备的”。 函数系的“完备性”是一个比较复杂的问题。我们在这里仅以一元函数为例加以说明。如果一个正 交归一函数系 {u (x)} n 能使展开式 ( ) ( ) n n n  x a u x = 对任何  ( ) x 都成立，我们就称这个函数系是“完备的”。那么在什么情况下 {u (x)} n 是完备的呢？把 a u x x u x x dx n n n ( ( ), ( ) ( ) ( )   )  = =  再代回上式，我们得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , n n n n n n    x u x u x x dx u x u x x dx     = =               因为  ( ) x 是任意的，所以必须有 ( ) ( ) ( ). n n n u x u x x x      = − 这个条件就称为函数系 {u (x)} n 的“（强）完备性条件”。反过来说，如果上式成立，我们就可以借助 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n x x x x dx u x u x x dx u x u x x dx        = − =       =        得到  ( ) x 在 {u (x)} n 上的展开式。这里要注意别把完备性条件和正交归一条件弄混，后者是 ( ) ( ) . m n mn u x u x dx   =  我们在上面很容易就证明了 Hermitian 算符本征函数系的正交性，但是要证明它的完备性显然要困 难得多，因为完备函数系一定包含了无穷多个函数，而完备性是这无穷多个函数的“整体性质”。当然 在数学上，“什么样的算符的本征函数系是完备的”这个问题是有答案的，但是我们不想做详细的介绍 了（请参看教材）。从物理上说，函数系的完备性尽管很重要，我们却经常不对它做严格的证明。一方 面这是因为有些函数系的完备性已经由数学家证明过，另一方面也是因为物理上的“完备性”通常只意 味着取这些基本函数来展开我们要研究的波函数已经“足够多”了，而这并不是数学意义上的完备性， 比如这些基本函数的数目经常不是无穷多。 8. 不确定关系的准确形式 与 ] 0 ˆ , ˆ [F G = 的情形相反，如果 ] 0 ˆ , ˆ [F G  ，那么 F 和 G 就不能同时有确定值。比如，我们已经知 道 [ , ] i 0 ˆ ˆ x x p =  ，同时又从粒子波动性实验的直接分析中看到了 x     x p ，所以这二者必然是有 的联系的。下面我们就从 ] 0 ˆ , ˆ [F G  导出 F 和 G 的不确定关系的准确描写。 定义偏差算符为： , F ˆ = F ˆ − F ( F 是 F ˆ 的平均值) 那么 ˆ ˆ  = − = − = F F F F F ( ) 0, 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( 2 ) 2 .  = − = − + = −  + = − F F F F FF F F F F F F F 2 ) ˆ (F 这个量（所谓“均方偏差”）就描写了力学量 F ˆ 的测量值的偏差程度。如果 0 ˆ ] i ˆ , ˆ [F G = C  ，那 么 2 ) ˆ (F 和 2 ) ˆ (G 有什么关系？计算的方法如下