§32 Hermitian算符的主要性质 1.算符的本征方程 定义:设F是一个算符,则 称为F的本征方程,λ称为本征值,v2称为F的属于A的本征函数,或本征态 可以证明:如果算符F是 Hermitian算符,那么在F的本征态下,力学量F的涨落为零,这里“涨 落”的定义是 (AF)=(F-F)2-w(F-F) dr 还可以证明:如果算符户是 Hermitian算符,那么当v是户的本征态的时候,δF/δ=0,其中F 是F在∨上的平均值,v是v的变分(这意味着v是F的极大值点或者极小值点或者鞍点)。 关于本征值和本征函数的物理意义,量子力学的基本假设是:算符F的本征值集{4}就是力学量F 的测量值集:F的本征函数v2代表力学量F有确定值λ的量子状态 2. Hermitian算符的本征值 定理: Hermitian算符的本征值都是实数 证明:本征方程是 v=ny 所以 (Fv2)=(v2) 在 Hermitian 1算符的定义式v'(9)dr=(Fv)dr中让W=p=W2,那么 jwa(Fwa)dr=(Fwa)vadr, 也就是 y ∫vxF 所以 λ=.■ 定理的推论: Hermitian算符的平均值必是实数。 由于这个定理,我们要求所有的物理量(或称为“可观察量”)的算符都是 Hermitian算符。不难证 明:坐标算符和动量算符都是 Hermitian算符。以p2为例,其 Hermitian性证明如下。 y(问)=-y=-V。d=(pWy)p■ 这里用到了分部积分法则和v-=qp=0 在一定条件下,坐标算符和动量算符所构成的函数也是 Hermitian算符。事实上,如果F和G都是 Hermitian算符而且FG=GF,那么FG也是 Hermitian算符。因此,角动量算符是 Hermitian算符 定理的逆定理也是成立的,即,全体本征值都为实数的算符必是 Hermitian算符。但是,并不是所 有的 Hermitian算符都一定代表可观察量。 3.本征函数系的正交性 定义:若两个函数v1和v2满足 ∫ⅵv2dr=0 则称它们是正交的 正交性定理:同一个 Hermitian算符的属于不同本征值的本征函数必是彼此正交的
1 §3.2 Hermitian 算符的主要性质 1. 算符的本征方程 定义：设 F ˆ 是一个算符，则 F = ˆ 称为 F ˆ 的本征方程， 称为本征值， 称为 F ˆ 的属于 的本征函数，或本征态。 可以证明：如果算符 F ˆ 是 Hermitian 算符，那么在 F ˆ 的本征态下，力学量 F 的涨落为零，这里“涨 落”的定义是 2 2 2 ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) . F F F F F d − = − 还可以证明：如果算符 F ˆ 是 Hermitian 算符，那么当 是 F ˆ 的本征态的时候， F / 0 = ，其中 F 是 F ˆ 在 上的平均值， 是 的变分（这意味着 是 F 的极大值点或者极小值点或者鞍点）。 关于本征值和本征函数的物理意义，量子力学的基本假设是：算符 F ˆ 的本征值集 {} 就是力学量 F 的测量值集； F ˆ 的本征函数 代表力学量 F 有确定值 的量子状态。 2．Hermitian 算符的本征值 定理：Hermitian 算符的本征值都是实数。 证明：本征方程是 F = ˆ , 所以 ) = ( ) ˆ (F , 在 Hermitian 算符的定义式 ˆ ˆ ( ) ( ) F d F d = 中让 = = ，那么 ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) , F d F d = 也就是 = d d 2 2 | | | | , 而 | | 0 2 d , 所以 = . ▌ 定理的推论：Hermitian 算符的平均值必是实数。 由于这个定理，我们要求所有的物理量（或称为“可观察量”）的算符都是 Hermitian 算符。不难证 明：坐标算符和动量算符都是 Hermitian 算符。以 ˆ x p 为例，其 Hermitian 性证明如下。 ( ) i i ( ) i ( ) . ˆ ˆ x x p dx dx dx p dx x x + + + + + − − − − − = − = − + = ▌ 这里用到了分部积分法则和 0 = = 。 在一定条件下，坐标算符和动量算符所构成的函数也是 Hermitian 算符。事实上，如果 F ˆ 和 G ˆ 都是 Hermitian 算符而且 FG GF ˆ ˆ = ˆ ˆ ，那么 FG ˆ ˆ 也是 Hermitian 算符。因此，角动量算符是 Hermitian 算符。 定理的逆定理也是成立的，即，全体本征值都为实数的算符必是 Hermitian 算符。但是，并不是所 有的 Hermitian 算符都一定代表可观察量。 3. 本征函数系的正交性 定义：若两个函数 1 和 2 满足 1 2 d 0, = 则称它们是正交的。 正交性定理：同一个 Hermitian 算符的属于不同本征值的本征函数必是彼此正交的
证明:设 Hermitian算符F有两个本征函数内和φ2,分别属于本征值入和2且≠2,那么 入v1 Fv2=n2 所以 ∫v(v)dr=2∫vvda w1 vdr=M vi v2 di 由于A1≠2,所以 「vv2dz=0.■ 注意,这个定理的结论与F的本征值谱是分立(离散)谱还是连续谱无关。 彼此“正交”的几何意义就是彼此垂直 如果F的本征值谱是非简并的和离散的,本征值为{,2…,本征函数为{,2…,那么波 函数是平方可积的,因而可以有限地归一化,所以我们有 dr=,(k,l=1,2,…) 其中 k≠l 这称为函数系{,k=12,…}的正交归一关系,或正交归一性 为简单起见,以下记 称为v和p的“内积”。它的主要性质有: (v,v)≥0 其中当且仅当ψ=0时=号成立 C+c2,p)=q(v1,p)+c2(v2,p) (v,c+c22)=q(,)+C2(,), (v,p)=(中,v) 这样,函数系{}的正交归一性就可以写为 (,)=O1, 而算符的 Hermitian共轭的定义可以写为 (,Fy)=(F中,y),(vp,y) 所以 Hermitian算符就定义为 (中,Fy)=(F中,v).(v中,v) 如果F的本征值谱是连续的,那么本征函数就不是平方可积的。这时候,本征函数系可以“按δ函 数归一化”。关于这个问题,我们将在以后再做说明 4.简并情形 如果出现简并(即一个本征值有若干个线性独立的本征函数)的情形,则正交性定理不能保证同 本征值的不同本征函数是彼此正交的。但是我们不难证明,经过对本征函数进行适当的重新组合,可以 使它们仍然是彼此正交的 假如内,P2,P,…是属于同一本征值的不同本征函数,彼此并不正交(但各自仍然是归一的)。那 么我们可以按照下面的方法组成一套新的本征函数A1p2,B3,…彼此是正交的。比如,让A1=n,而 2=c1A1+c2P2,那么(A1,P2)=0导致1(,1)+C2(A,P2)=0,所以==C2(A,P2),C2则由 P2的归一化来决定。依此类推。在线性代数里,这称为 Schmidt正交化程序
2 证明：设 Hermitian 算符 F ˆ 有两个本征函数 1 和 2 ，分别属于本征值 1 和 2 且 1 2 ，那么 1 1 1 F ˆ = , 2 2 2 F ˆ = , 所以 1 2 2 1 2 ( ) F d d ˆ = ( ) = F d = d 1 2 1 1 2 ˆ , 由于 1 2 ，所以 1 2 = 0 d . ▌ 注意，这个定理的结论与 F ˆ 的本征值谱是分立（离散）谱还是连续谱无关。 彼此“正交”的几何意义就是彼此垂直。 如果 F ˆ 的本征值谱是非简并的和离散的，本征值为 1 ,2 , ，本征函数为 1 ,2 , ，那么波 函数是平方可积的，因而可以有限地归一化，所以我们有 , ( , 1,2, ) k l kl d k l = = 其中 = = k l k l kl 1. 0, . 这称为函数系 k , k = 1,2, 的正交归一关系，或正交归一性。 为简单起见，以下记 d ( , ), 称为 和 的“内积”。它的主要性质有： ( , ) 0, 其中当且仅当 = 0 时 = 号成立， 1 1 2 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ), c c c c + = + 1 1 2 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ), c c c c + = + ( , ) ( , ). = 这样，函数系 k 的正交归一性就可以写为 ( , ) , k l kl = 而算符的 Hermitian 共轭的定义可以写为 ˆ ˆ ( , ) ( , ), ( , ) F F+ = 所以 Hermitian 算符就定义为 ˆ ˆ ( , ) ( , ). ( , ) F F = 如果 F ˆ 的本征值谱是连续的，那么本征函数就不是平方可积的。这时候，本征函数系可以“按 函 数归一化”。关于这个问题，我们将在以后再做说明。 4. 简并情形 如果出现简并（即一个本征值有若干个线性独立的本征函数）的情形，则正交性定理不能保证同一 本征值的不同本征函数是彼此正交的。但是我们不难证明，经过对本征函数进行适当的重新组合，可以 使它们仍然是彼此正交的。 假如 1 2 3 , , , 是属于同一本征值的不同本征函数，彼此并不正交（但各自仍然是归一的）。那 么我们可以按照下面的方法组成一套新的本征函数 1 2 3 , , , 彼此是正交的。比如，让 1 1 = ，而 2 1 1 2 2 = + c c ，那么 1 2 ( , ) 0 = 导致 1 1 1 2 1 2 c c ( , ) ( , ) 0 + = ，所以 1 2 1 2 c c = − ( , ) ， 2 c 则由 2 的归一化来决定。依此类推。在线性代数里，这称为 Schmidt 正交化程序
5.同时本征函数 但是在量子力学里,我们有一个更加“物理”的办法来解决简并本征函数的正交性,那就是考虑同 时本征函数 定理:若[F,G]=0,即是FG=GF,则F和G可以有同时(共同)本征函数,即存在φ使得 Fp=和Gφ=((A和是常数)同时成立 我们不对这个定理进行严格的证明了 该定理也很容易推广到多个算符的情形。假如我们有一系列算符{户,G,,…,它们是两两对易 的,即满足[F,G]=[F,H=[G,H]=…=0,那么它们就可以有同时本征函数,即存在φ使得 戶=,=四,应=同时成立,其中,山,是常数 同时本征函数所描写的就是几个力学量同时有确定值的状态。 这样,如果算符户的本征值λ有简并,我们就再引进另一个算符G,满足[F,G]=0,并求出F和 G的同时本征函数。如果对于F简并的(同时)本征函数对于G不再是简并的(即分属于G的不同的 本征值),那么正交性定理仍然保证了它们是正交的。但也有可能F和G的同时本征函数仍然有简并 那么我们就再引进第三个算符例如H,满足[F,G]=[F,H]=[G,H]=0,并求出F,G,H的同时本 函数,如此等等,直到所有的简并完全去除为止。这时,是一组(而不是仅仅一个)量子数例如 (n,l,m,…)完全确定了一个量子态(即一个同时本征函数)。如果这些量子数都是分立量子数,那么这 些同时本征函数的正交归一关系就是 (mn,中nm)= Emere6n 6.力学量的完备集 某个力学量有简并本征函数的这种情形,多半出现在多自由度体系中。例如,如果一个粒子在三维 空间中运动,按照经典力学它的自由度数就是3,这时候只用一个力学量来描写粒子的状态显然是不够 定义:对于一个量子力学系统,一组彼此函数独立而又两两对易,并且完全去除简并的力学量的集 合,称为它的完备力学量集。 完备力学量集里所包含的力学量的数目,通常是在经典力学中该系统的自由度数之外,再加上一些 具有“纯”量子力学起源的自由度,例如宇称,自旋,或者一些“内部”自由度(例如同位旋)。 完备力学量集的选择不是唯一的。例如对于一个在三维空间中运动的无自旋粒子(不管它受到什么 势场的作用),完备力学量集可以选为{元,},也可以选为{P2,P,P2}。但是,{,元,的同时本 征函数一定不是系统的 Schrodinger方程的解,除去自由粒子以外,{B2,p2}的同时本征函数也不 是 Schrodinger方程的解,所以这些选择不是最方便的。经常地,我们要求完备力学量集里包含系统的 Hamiltonian,这样的完备力学量集称为完备守恒量集(对于“守恒”这个术语我们以后还会解释)。 7.一般力学量的测量几率 根据完备力学量集的定义和态的叠加原理,完备力学量集的全体算符的同时本征函数构成了表示该 系统的量子状态的正交归一完备基底,也就是说,系统的任何状态都可以展开为这些状态的线性组合 以离散本征值的情况为例,把完备力学量集的同时本征态记为vk,其中k代表一个量子数组,那 么{vk}的正交归一关系是 而任何状态v都可以展开为 由于 (vk…,v)=∑a(vk,vk)=∑1x=a 所以v的展开式的系数就是 ak=(yr, y)
3 5. 同时本征函数 但是在量子力学里，我们有一个更加“物理”的办法来解决简并本征函数的正交性，那就是考虑同 时本征函数。 定理：若 ] 0 ˆ , ˆ [F G = ，即是 F ˆ G ˆ = G ˆ F ˆ ，则 F ˆ 和 G ˆ 可以有同时（共同）本征函数，即存在 使得 F ˆ = 和 G ˆ = （ 和 是常数）同时成立。 我们不对这个定理进行严格的证明了。 该定理也很容易推广到多个算符的情形。假如我们有一系列算符 , } ˆ , ˆ , ˆ {F G H ，它们是两两对易 的，即满足 , ˆ ] 0 ˆ ] [ ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ [F G = F H = G H = = ，那么它们就可以有同时本征函数，即存在 使得 F ˆ = ，G ˆ = ， H ˆ = 同时成立，其中 , , 是常数。 同时本征函数所描写的就是几个力学量同时有确定值的状态。 这样，如果算符 F ˆ 的本征值 有简并，我们就再引进另一个算符 G ˆ ，满足 ] 0 ˆ , ˆ [F G = ，并求出 F ˆ 和 G ˆ 的同时本征函数。如果对于 F ˆ 简并的（同时）本征函数对于 G ˆ 不再是简并的（即分属于 G ˆ 的不同的 本征值），那么正交性定理仍然保证了它们是正交的。但也有可能 F ˆ 和 G ˆ 的同时本征函数仍然有简并， 那么我们就再引进第三个算符例如 H ˆ ，满足 , ˆ ] 0 ˆ ] [ ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ [F G = F H = G H = ，并求出 F G H ˆ , ˆ , ˆ 的同时本 征函数，如此等等，直到所有的简并完全去除为止。这时，是一组（而不是仅仅一个）量子数例如 (n,l,m, ) 完全确定了一个量子态（即一个同时本征函数）。如果这些量子数都是分立量子数，那么这 些同时本征函数的正交归一关系就是 ( , ) . nlm n l m nn ll mm = 6. 力学量的完备集 某个力学量有简并本征函数的这种情形，多半出现在多自由度体系中。例如，如果一个粒子在三维 空间中运动，按照经典力学它的自由度数就是 3，这时候只用一个力学量来描写粒子的状态显然是不够 的。 定义：对于一个量子力学系统，一组彼此函数独立而又两两对易，并且完全去除简并的力学量的集 合，称为它的完备力学量集。 完备力学量集里所包含的力学量的数目，通常是在经典力学中该系统的自由度数之外，再加上一些 具有“纯”量子力学起源的自由度，例如宇称，自旋，或者一些“内部”自由度（例如同位旋）。 完备力学量集的选择不是唯一的。例如对于一个在三维空间中运动的无自旋粒子（不管它受到什么 势场的作用），完备力学量集可以选为 { , , } x y z ˆ ˆ ˆ ，也可以选为 { , , } ˆ ˆ ˆ x y z p p p 。但是， { , , } x y z ˆ ˆ ˆ 的同时本 征函数一定不是系统的 Schrödinger 方程的解，除去自由粒子以外， { , , } ˆ ˆ ˆ x y z p p p 的同时本征函数也不 是 Schrödinger 方程的解，所以这些选择不是最方便的。经常地，我们要求完备力学量集里包含系统的 Hamiltonian H ˆ ，这样的完备力学量集称为完备守恒量集（对于“守恒”这个术语我们以后还会解释）。 7. 一般力学量的测量几率 根据完备力学量集的定义和态的叠加原理，完备力学量集的全体算符的同时本征函数构成了表示该 系统的量子状态的正交归一完备基底，也就是说，系统的任何状态都可以展开为这些状态的线性组合。 以离散本征值的情况为例，把完备力学量集的同时本征态记为 k ，其中 k 代表一个量子数组，那 么 { } k 的正交归一关系是 ( , ) , k k kk = 而任何状态 都可以展开为 . k k k = a 由于 ( , ) ( , ) , k k k k k k k k k k = = = a a a 所以 的展开式的系数就是 ( , ), k k a =
而|a代表了在状态v中包含状态vk的几率,也就是在状态v下测量完备力学量集的各力学量,得 到vk所对应的那些本征值的几率。这就是波函数的几率解释的一般表述。现在v的归一化同时体现为 (vv)=∑|aP2=1 但是严格说来,我们在这里还有一个问题需要交代。前面我们说“任何状态v都可以展开为v的 线性组合”,那么有什么条件能保证这个展开一定是可行的呢?显然,只有在{k}“足够多”的时候 它们的线性组合才能表达任意的波函数,换句话说,{vk}这个函数系必须是“完备的”。 函数系的“完备性”是一个比较复杂的问题。我们在这里仅以一元函数为例加以说明。如果一个正 交归一函数系{un(x)}能使展开式 v(x)=∑an1(x) 对任何v(x)都成立,我们就称这个函数系是“完备的”。那么在什么情况下{un(x)}是完备的呢?把 a,=(u,(x),(x)=u(x)w(x)ar 再代回上式,我们得 因为y(x)是任意的,所以必须有 ∑un(x)u2(x')=b(x-x) 这个条件就称为函数系{un(x)}的“(强)完备性条件”。反过来说,如果上式成立,我们就可以借助 v(x)=∫o(x-x)(x)dx2=∑u1(x(x)v(x)d =∑1(x)x(x)d 得到v(x)在{un(x)}上的展开式。这里要注意别把完备性条件和正交归一条件弄混,后者是 ∫n(x)nx)tr=m 我们在上面很容易就证明了 Hermitian算符本征函数系的正交性,但是要证明它的完备性显然要困 难得多,因为完备函数系一定包含了无穷多个函数,而完备性是这无穷多个函数的“整体性质”。当然 在数学上,“什么样的算符的本征函数系是完备的”这个问题是有答案的,但是我们不想做详细的介绍 了(请参看教材)。从物理上说,函数系的完备性尽管很重要,我们却经常不对它做严格的证明。一方 面这是因为有些函数系的完备性已经由数学家证明过,另一方面也是因为物理上的“完备性”通常只意 味着取这些基本函数来展开我们要研究的波函数已经“足够多”了,而这并不是数学意义上的完备性 比如这些基本函数的数目经常不是无穷多。 8.不确定关系的准确形式 与[F,G=0的情形相反,如果[F,G]≠0,那么F和G就不能同时有确定值。比如,我们已经知 道[x,p3]=ih≠0,同时又从粒子波动性实验的直接分析中看到了△x·4≈h,所以这二者必然是有 的联系的。下面我们就从[FG]≠0导出F和G的不确定关系的准确描写。 定义偏差算符为: △F=F-F,(F是F的平均值) 那么 △F=(F-F)=F-F=0, (AF)2=(F-F)2=(F2-2FF+F2)=F2-2FF+F2=F2-F2 (△F)2这个量(所谓“均方偏差”)就描写了力学量户的测量值的偏差程度。如果[F,G]=iC≠0,那 么(AF)2和(△G)2有什么关系?计算的方法如下
4 而 2 | | k a 代表了在状态 中包含状态 k 的几率，也就是在状态 下测量完备力学量集的各力学量，得 到 k 所对应的那些本征值的几率。这就是波函数的几率解释的一般表述。现在 的归一化同时体现为 2 ( , ) | | 1. k k = = a 但是严格说来，我们在这里还有一个问题需要交代。前面我们说“任何状态 都可以展开为 k 的 线性组合”，那么有什么条件能保证这个展开一定是可行的呢？显然，只有在 { } k “足够多”的时候， 它们的线性组合才能表达任意的波函数，换句话说， { } k 这个函数系必须是“完备的”。 函数系的“完备性”是一个比较复杂的问题。我们在这里仅以一元函数为例加以说明。如果一个正 交归一函数系 {u (x)} n 能使展开式 ( ) ( ) n n n x a u x = 对任何 ( ) x 都成立，我们就称这个函数系是“完备的”。那么在什么情况下 {u (x)} n 是完备的呢？把 a u x x u x x dx n n n ( ( ), ( ) ( ) ( ) ) = = 再代回上式，我们得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , n n n n n n x u x u x x dx u x u x x dx = = 因为 ( ) x 是任意的，所以必须有 ( ) ( ) ( ). n n n u x u x x x = − 这个条件就称为函数系 {u (x)} n 的“（强）完备性条件”。反过来说，如果上式成立，我们就可以借助 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n x x x x dx u x u x x dx u x u x x dx = − = = 得到 ( ) x 在 {u (x)} n 上的展开式。这里要注意别把完备性条件和正交归一条件弄混，后者是 ( ) ( ) . m n mn u x u x dx = 我们在上面很容易就证明了 Hermitian 算符本征函数系的正交性，但是要证明它的完备性显然要困 难得多，因为完备函数系一定包含了无穷多个函数，而完备性是这无穷多个函数的“整体性质”。当然 在数学上，“什么样的算符的本征函数系是完备的”这个问题是有答案的，但是我们不想做详细的介绍 了（请参看教材）。从物理上说，函数系的完备性尽管很重要，我们却经常不对它做严格的证明。一方 面这是因为有些函数系的完备性已经由数学家证明过，另一方面也是因为物理上的“完备性”通常只意 味着取这些基本函数来展开我们要研究的波函数已经“足够多”了，而这并不是数学意义上的完备性， 比如这些基本函数的数目经常不是无穷多。 8. 不确定关系的准确形式 与 ] 0 ˆ , ˆ [F G = 的情形相反，如果 ] 0 ˆ , ˆ [F G ，那么 F 和 G 就不能同时有确定值。比如，我们已经知 道 [ , ] i 0 ˆ ˆ x x p = ，同时又从粒子波动性实验的直接分析中看到了 x x p ，所以这二者必然是有 的联系的。下面我们就从 ] 0 ˆ , ˆ [F G 导出 F 和 G 的不确定关系的准确描写。 定义偏差算符为： , F ˆ = F ˆ − F ( F 是 F ˆ 的平均值) 那么 ˆ ˆ = − = − = F F F F F ( ) 0, 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( 2 ) 2 . = − = − + = − + = − F F F F FF F F F F F F F 2 ) ˆ (F 这个量（所谓“均方偏差”）就描写了力学量 F ˆ 的测量值的偏差程度。如果 0 ˆ ] i ˆ , ˆ [F G = C ，那 么 2 ) ˆ (F 和 2 ) ˆ (G 有什么关系？计算的方法如下
引入 I)=(△F-iGvd, 其中5是一个实参数,所以我们必有 /(5)≥0 另一方面,由于F和G都是 Hermitian算符,所以 (5)=5AFv-i△Gv,s△Fv-i△Gv (△Fv,△Fv)-1(AFv,Gv)+i5( =2(v,(△)v)-(v(△F△Gy)+i5(v(△G△y)+(v△G3v) =2(v(△F)v)-i(wA,△Gy)+(vw,G3v) Vw△))-i(w,F,y)+(v,(△G)v) =(△F)22-i[F,G]5+(△G)2 其中注意 LAF,AG=F-F,G-G=F,GI 根据二次三项式的判别式的性质,在/(5)≥0时必有 户)2(△G)221(-F,G]) 这就是准确的 Heisenberg不确定关系。在数学上,它称为 Schwarz不等式 对于[,p 有C=h,所以 )2(△Ap2)2 也有时记 6x=V△),6p2=V4,) 称为均方根偏差,那么, 对于某些量子状态,上面那些不等式中的≥号恰好取=号,这样的状态通常称为“最小测不准态”。 应用不确定关系的一个例子:谐振子的零点能。现在 H 2m 对于谐振子,p=x=0,所以B2=(A)2,x2=(△)2 E 2 假设只考虑“最小测不准态”,那么就有 求E在这个约束条件下的极小值,可设
5 引入 2 ˆ ˆ I F G d ( ) ( i ) , = − 其中 是一个实参数，所以我们必有 I( ) 0. 另一方面，由于 F ˆ 和 G ˆ 都是 Hermitian 算符，所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) i , i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , i , +i , , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ( ) i , ( ) +i , ( ) , ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ , ( ) i , [ , ] , ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ , ( ) i , [ , ] , ( ) ˆ ( I F G F G F F F G G F G G F F G G F G F F G G F F G G = − − = − + = − + = − + = − + = 2 2 2 ˆ ˆ ˆ F F G G ) i[ , ] ( ) . − + 其中注意 ]. ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ [F G = F − F G − G = F G 根据二次三项式的判别式的性质，在 I( ) 0 时必有 2 2 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( i[ , ] ) . 4 4 − = F G F G C 这就是准确的 Heisenberg 不确定关系。在数学上，它称为 Schwarz 不等式。 对于 [x ˆ , p ˆ x ] = i ，有 C = ˆ ，所以 . 4 ( ˆ) ( ˆ ) 2 2 2 x px 也有时记 2 2 ( ) , ( ) , ˆ ˆ x x x x p p 称为均方根偏差，那么， . 2 x px 对于某些量子状态，上面那些不等式中的 号恰好取 = 号，这样的状态通常称为“最小测不准态”。 应用不确定关系的一个例子：谐振子的零点能。现在 1 1 2 2 2 ˆ ˆ ˆ , 2 2 H p m x m = + 所以， 1 1 2 2 2 ˆ ˆ . 2 2 E p m x m = + 对于谐振子， p = x = 0 ，所以 2 2 2 2 p p x x ˆ = = ( ) , ( ) ˆ ˆ ˆ ， 1 1 2 2 2 ( ) ( ) . ˆ ˆ 2 2 E p m x m = + 假设只考虑“最小测不准态”，那么就有 . 4 ( ˆ) ( ˆ) 2 2 2 x p = 求 E 在这个约束条件下的极小值，可设
∫=(4)2+1m(A)2+k(△(4) 其中κ是 Lagrange待定乘子,然后求∫的无条件极值,结果是:极值点出现在 它对应的E的极小值是 h 这正是谐振子的零点能。我们看到,非零的“零点能”是不确定关系的结果。不难验证:谐振子的基态 确实是最小测不准态(但是不能说任何系统的基态都是最小测不准态 作业:习题3.5;36,3.7,3.8
6 2 1 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 4 f p m x x p m = + + − , 其中 是 Lagrange 待定乘子，然后求 f 的无条件极值，结果是：极值点出现在 2 2 ( ) , ( ) ˆ ˆ 2 2 m x p m = = , 它对应的 E 的极小值是 . 2 1 Emin = 这正是谐振子的零点能。我们看到，非零的“零点能”是不确定关系的结果。不难验证：谐振子的基态 确实是最小测不准态（但是不能说任何系统的基态都是最小测不准态）。 作业：习题 3.5; 3.6; 3.7; 3.8
