§2-3通过平壁,圆筒壁,球壳和其它 变截面物体的导热 本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况,考察平 板和圆柱内的导热。 直角坐标系:C (20)+(2Qt、0,0t at aa (x)+￠ ar axax ay Oy az az 1单层平壁的导热 a几何条件:单层平板;8 b物理条件:p、c、九已知;无内热源 c时间条件:稳态导热:O/Or=0 d边界条件:第一类
§2-3 通过平壁，圆筒壁，球壳和其它 变截面物体的导热 本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平 板和圆柱内的导热。 直角坐标系： Φ z t y z t x y t x t c + + + = ( ) ( ) ( ) 1 单层平壁的导热 o x a 几何条件：单层平板； b 物理条件：、c、 已知；无内热源 c 时间条件： 稳态导热 :t = 0 d 边界条件：第一类
根据上面的条件可得: 接制 方程 at a at 0 X 条伟 第一类边条 x=0,t=t1n1。° x=5. t=t w2 直接积分,得:at C1→t=c1x+c2 t 带入边界条件:
0 d d 2 2 = x t x o t1 t t2 = = = = 2 1 , 0, w w x t t x t t 直接积分，得： 1 1 2 c t c x c dx dt = = + 根据上面的条件可得： 第一类边条： + = Φ x t x t c ( ) 控制 方程 边界 条件 带入边界条件： = − = 2 1 2 1 1 c t t t c
线性分布 x+t1 → dt 4带入Fomp定律/22 dx △t 6(A4) R A 热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况
= = − = − − = + − = ( ) d d 2 1 2 1 1 2 1 A t t t t q t t x t x t t t t 带入Fourier 定律 A r = R = 线性分布 热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况
2多层平壁的导热 多层平壁:由几层不同材料组成 令例:房屋的墙壁一白灰内层、水泥 沙浆层、红砖(青砖)主体层等组成 假设各层之间接触良好,可以近似地认 为接合面上各处的温度相等 令边界条件:x=0 x=∑ n+1 R t2/ 72 t 热阻 ni 入1 层平壁的稳态导热
2 多层平壁的导热 t1 t2 t3 t4 t1 t2 t3 t4 三层平壁的稳态导热 ❖ 多层平壁：由几层不同材料组成 ❖ 例：房屋的墙壁 — 白灰内层、水泥 沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成 ❖ 假设各层之间接触良好，可以近似地认 为接合面上各处的温度相等 ❖ 边界条件： 1 1 0 1 + = = = = = n n i i x t t x t t ❖ 热阻： n n n r r = , , = 1 1 1
由热阻分析法: n+1 +1 问:现在已经知道了q,如何计算其中第i层的右侧壁温? 第一层:q=(1-12)→42=4-q 第二层:q t3 =t2-q 第;层:9=3(-4m)→t1=-92
由热阻分析法： = + = + − = − = n i i i n n i i n t t r t t q 1 1 1 1 1 1 问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？ 第一层： 1 1 1 2 2 1 1 1 ( ) q = t −t t = t − q 第二层： 2 2 2 3 3 2 2 2 ( ) q = t − t t = t − q 第 i 层： i i i i i i i i q t t t t q = ( − +1 1) +1 = −
多层、第三类边条 fI rn 1-f2 q r3 2 单位:W ,6,x 2 R 传热系数? a1 t 三层平壁的稳态导热
1 1 2 1 2 1 1 h h t t q n i i i f f + + − = = 2 m W 单位： t f1 t2 t3 t f2 t1 t2 t3 t2 三层平壁的稳态导热 h1 h2 t t f1 f2 ？ ？ 传热系数？ 多层、第三类边条
3单层圆筒壁的导热 圆柱坐标系: at 1 a at 0.ot、0..at +(x)+ ar r op tw 假设单管长度为l,圆筒壁的外半 径小于长度的1/10。 de 维、稳态、无内热源、常物性 dt、=C (a 2丌λ 第一类边界条件: 时t r=n2时 2
3 单层圆筒壁的导热 圆柱坐标系： Φ z t z t r r t r r r t c + + + = ( ) ( ) 1 ( ) 1 2 一维、稳态、无内热源、常物性： ) 0 d d ( d d = r t r r 第一类边界条件： = = = = 2 2 1 1 w w r r t t r r t t 时 时 (a) 假设单管长度为l，圆筒壁的外半 径小于长度的1/10
对上述方程a)积分两次: 第一次积分 第二次积分 C1→t=c1lnr+c 应用边界条件 =c Inr tc: t=cinr+ 获得两个系数 2 2 2 将系数带入第二次积分结果 →t=t1+ /) 显然,温度呈对数曲线分布
对上述方程(a)积分两次: 1 1 2 c t c ln r c dr dt r = = + 1 1 1 2 2 1 2 2 t c ln r c ; t c ln r c w = + w = + ln( ) ln ; ( ) ln( ) 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 r r r c t t t r r t t c w w w w w = − − − = 第一次积分 第二次积分 应用边界条件 获得两个系数 ln( ) ln( ) 1 2 1 2 1 1 r r r r t t t t − = + 将系数带入第二次积分结果 显然，温度呈对数曲线分布
圆筒壁内温度分布: / 1 (r2/r) ÷圆筒壁内温度分布曲线的形状? 2 d Inr r)r dr- Inr rr 若 d t 2 0向上凹 2丌入d1t2 d-t 若Ln1< <0向上凸
圆筒壁内温度分布： ln( ) ln( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 r r r r t t t t = w − w − w 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 ln( ) ; 1 ln( ) r r r t t dr d t r r r t t dr dt w w w − w = − = − ❖圆筒壁内温度分布曲线的形状？ 若 : 2 0 向上凹 2 1 2 d r d t t t w w 若 : 2 0 向上凸 2 1 2 dr d t t t w w
下面来看一下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况 hn()→ dt 2 In(n2/ r) dr In(r nr dtat-t 2 虽然时稳态情况,但 q=d-=r1m(/)Lm」 热流密度q与半径r 成反比! d=2trlq-In(r/r) R, 2 W 2丌 长度为l的圆筒 壁的导热热阻
下面来看一下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况 − = − = 2 2 1 1 2 m W d ln( ) d r r t t r r t q w w W 2 ln( ) 2 1 2 2 1 1 2 R t t l r r t t Φ rlq w w w − w = − = = ln( ) ln( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 r r r r t t t t = w − w − w r r r t t dr dt w w 1 ln( ) 2 1 1 − 2 = − 长度为l 的圆筒 壁的导热热阻 虽然时稳态情况，但 热流密度q 与半径r 成反比！