§25一维散射问题 1.一维散射问题的一般提法 为简单起见,假设 V(+∞)=(-∞)=0,E>0 所以这时的量子状态是非束缚态,或称散射态。此时的问题不再是求能量本征值(因为E>0的任何值 都可以使方程有单值、有限、连续的解,或者说此时的能量有连续谱),而是求“散射几率”。问题的基 本提法如下。 在x→±∞时V=0,方程是 所以 (x)=e和e的线性组合 其中e是正向行波,e是反向行波。实际情况是:粒子从一边入射,被势场散射而分成了反射和透 射两个部分。这给方程提出了一定的定解条件: 粒子从左方入射:x→+∞时v(x)→Ce, 粒子从右方入射:x→-∞时y(x)→Ce-k 下面以左方入射为例,边界条件是 x→-∞时v(x)=Ae+Be,(入射加反射) x→+∞时v(x)=Ce (只有透射) 在y=Ae时,粒子的几率流密度是 ih dy hk dx 其中v=λk/m=p/m是粒子的经典速度。所以在上面的边界条件下, 入射几率流密度是J=|4n 反射几率流密度是J=|B2r 透射几率流密度是Jr=n, 由此定义 反射系数R=J/J1=1B24 透射系数T=1J1=(C小4, 它们是实验上可以测量的,也是理论上要计算的。在实际计算时可以取A=1 2.方势垒的量子隧穿 方势垒是 x a a(>0)0 取0a 2y=0,0<x<a 其中a=√2m(-E)h。在粒子从左方入射时, y(x)= Fsinhax+ Gcoshax, 0 <x<a
1 §2.5 一维散射问题 1. 一维散射问题的一般提法 为简单起见，假设 V V E ( ) ( ) 0, 0. + = − = 所以这时的量子状态是非束缚态，或称散射态。此时的问题不再是求能量本征值（因为 E 0 的任何值 都可以使方程有单值、有限、连续的解，或者说此时的能量有连续谱），而是求“散射几率”。问题的基 本提法如下。 在 x → 时 V = 0 ，方程是 ( ) 2 + = = k k mE 0, 2 / 所以 kx x i ( ) = e 和 ikx e − 的线性组合， 其中 ikx e 是正向行波， ikx e − 是反向行波。实际情况是：粒子从一边入射，被势场散射而分成了反射和透 射两个部分。这给方程提出了一定的定解条件： 粒子从左方入射： x → + 时 ( ) e , ikx x → C 粒子从右方入射： x →− 时 ( ) e . ikx x C → − 下面以左方入射为例，边界条件是： x →− 时 ( ) e e , ikx ikx x A B − = + （入射加反射） x → + 时 ( ) e . ikx x = C （只有透射） 在 kx A i = e 时，粒子的几率流密度是： i 2 2 , 2 d d k J A A v m dx dx m = − = = 其中 v k m p m = = / / 是粒子的经典速度。所以在上面的边界条件下， 入射几率流密度是 2 , I J A v = 反射几率流密度是 2 , R J B v = 透射几率流密度是 2 , T J C v = 由此定义： 反射系数 2 2 / / , R J J B A = = R I 透射系数 2 2 / / , T J J C A = = T I 它们是实验上可以测量的，也是理论上要计算的。在实际计算时可以取 A =1。 2. 方势垒的量子隧穿 方势垒是： 0 0, 0 or ( ) ( 0). 0 x x a V x V x a = 取 0 0 E V ，所以方程是： 2 2 0, 0 or 0, 0 k x x a x a + = − = 其中 0 = − 2 ( )/ m V E 。在粒子从左方入射时， i i i e e , 0 ( ) sinh cosh , 0 e , kx kx kx B x x F x G x x a C x a − + = +
让v和v'在x=0和x=a处连续,我们得到4个方程,从中可以解出B,C,F,G。结果是 B= (k- +asinhaa (k--a) aa 2i ka cosh aa 2ikae-lka (k2-a2sinha+ 2ikacoshe 所以反射系数和透射系数分别是 R (k+a)sinh aa+ 4k 4k-a T=CI 2)2sinh2aa+4k2a2 讨论:(1)R+T=1,即是几率守恒。(2)在E>1,则近似有(WKB近似) m o-e)a EVo-E T≈Toe-2,aa 它对势垒高度()、宽度(a)和粒子能量(E)非常敏感 用类似的方法我们也可以计算δ势垒的反射系数和透射系数。事实上,这个计算要比上面的计算简 单得多,因为在δ势垒处波函数本身连续和一阶导数有跃变的条件几乎立即给出了结果,请读者自行完 成这个计算。 量子隧穿的应用:解释放射性元素的α衰变,隧道二极管,扫描隧道显微镜,电子的冷发射。 3.方势阱的共振透射 如果把方势垒改成方势阱,那就要把前面的v变为-1(V>0)。这时整个实轴都是经典允许区 不存在势垒的隧穿,但是我们在这里仍然发现了波动的特征,即共振现象。 不难证明,对于势阱情况下的透射系数,只需对上面的结果略做改变,即成为 4k-k (k2-k'2)2sin'k a+4kk'2 其中 M(E+o)/h 我们发现:当 ka=nr(n=1,2,3…) 时 sinka=0. T=l 这就是说,透射系数取到了极大值。ka=n的条件也就是 n-h E (其中n的取值要使得E>0,否则就不是散射问题了)。这正是以-V为势能起点宽度为a的无限深 势阱中的能级表达式,尽管现在这个势阱的高度只有1这么高。其实这并不难理解,因为在这里出现 透射系数的极大值和在无限深势阱中形成束缚态的物理原因是完全相同的,那就是在势阱的两个壁上的 反射回波在阱内产生了共振,或者说,势阱的宽度恰好成为半波长的整数倍(注意k=2n/)。所以 我们称这种现象为共振透射。也可以说,当入射粒子的能量恰好与势阱内的“虚”能级相重合时,就会 发生共振透射。理论上更严格的说法可以参看教材。 实际上,在量子隧穿中也有“共振隧穿”的现象发生,这时隧穿几率明显增大并达到极大值。读者 可以通过分析“对称双δ势垒”的透射系数来了解这个现象。 作业:习题26.(题目中的“势阱”二字改为“势垒”)
2 让 和 在 x = 0 和 x = a 处连续，我们得到 4 个方程，从中可以解出 B,C, F,G 。结果是 2 2 2 2 ( )sinh , ( )sinh 2i cosh k a B k a k a + = − + i 2 2 2i e , ( )sinh 2i cosh ka k C k a k a − = − + 所以反射系数和透射系数分别是： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) sinh , ( ) sinh 4 k a R B k a k + = = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 . ( ) sinh 4 k T C k a k = = + + 讨论：（1） R T + = 1 ，即是几率守恒。（2）在 E U0 时 T 0 ，这是经典力学不能解释的，称为 量子隧道效应，或简称量子隧穿。（3）如果 a 1 ，则近似有 (WKB 近似) 2 2 0 0 0 0 2 0 2 ( ) 16 ( ) e , , a m V E a E V E T T a T V − − − = = . 它对势垒高度( V0 )、宽度( a )和粒子能量( E )非常敏感。 用类似的方法我们也可以计算 势垒的反射系数和透射系数。事实上，这个计算要比上面的计算简 单得多，因为在 势垒处波函数本身连续和一阶导数有跃变的条件几乎立即给出了结果，请读者自行完 成这个计算。 量子隧穿的应用：解释放射性元素的 衰变，隧道二极管，扫描隧道显微镜，电子的冷发射。 3. 方势阱的共振透射 如果把方势垒改成方势阱，那就要把前面的 V0 变为 0 0 − V V( 0) 。这时整个实轴都是经典允许区， 不存在势垒的隧穿，但是我们在这里仍然发现了波动的特征，即共振现象。 不难证明，对于势阱情况下的透射系数，只需对上面的结果略做改变，即成为 2 2 2 2 2 2 2 2 4 , ( ) sin 4 k k T k k k a k k = − + 其中 0 k m E V = + 2 ( ) / . 我们发现：当 k a n n = = ( 1, 2, 3, ) 时 sin 0, k a = T =1. 这就是说，透射系数取到了极大值。 k a n = 的条件也就是 2 2 2 0 2 . 2 n E V ma = − + （其中 n 的取值要使得 E 0 ，否则就不是散射问题了）。这正是以 − V0 为势能起点宽度为 a 的无限深 势阱中的能级表达式，尽管现在这个势阱的高度只有 V0 这么高。其实这并不难理解，因为在这里出现 透射系数的极大值和在无限深势阱中形成束缚态的物理原因是完全相同的，那就是在势阱的两个壁上的 反射回波在阱内产生了共振，或者说，势阱的宽度恰好成为半波长的整数倍（注意 k = 2 / ）。所以 我们称这种现象为共振透射。也可以说，当入射粒子的能量恰好与势阱内的“虚”能级相重合时，就会 发生共振透射。理论上更严格的说法可以参看教材。 实际上，在量子隧穿中也有“共振隧穿”的现象发生，这时隧穿几率明显增大并达到极大值。读者 可以通过分析“对称双 势垒”的透射系数来了解这个现象。 作业：习题 2.6.（题目中的“势阱”二字改为“势垒”）