图画和 Heisenberg图画 1.H与时间无关时 Schrodinger方程初值问题的解 Schrodinger方程是(为说明问题清楚起见,我们把时间变量明确写出来了) (=HP( 通常还要求(t)满足初始条件 ()= =0 假如H与时间无关,那么这个问题的解是 H(t)=em0=U(2,0)平0, (直接代入就不难证明这一点),其中 称为时间演化算符。容易证明U(t,0)是幺正算符,即 U(t,O)U(,0)=U(,0)U+(t,0) 所以它保证了几率守恒。这里我们不妨注意这样一点:在量子力学里系统的状态随时间的演化是一系列 的幺正变换,而在经典力学里系统的状态随时间的演化是一系列的正则变换。所以,量子力学的幺正变 换与经典力学的正则变换是相当的 此外,算符F的平均值是 F=(平OP甲(o) 这里我们假设F是不显含时间的,但F却可能与时间有关,因为(t)在随时间演化 2. Schrodinger图画 事实上,在量子力学里,波函数和算符并不是物理上可以直接观察的对象。量子力学里可以观察的 其实是内积(H,Φ)(如果它是复数,就观察它的模和幅角)。在这个意义上,只要内积不变,我们用 什么波函数和算符来计算它,实际上是有选择的余地的。 如前所述,到目前为止,我们一直采用这样的形式来表达量子力学:波函数与时间有关并且服从 Schrodinger方程,而算符与时间无关。用式子写出来就是 ap() H aF 0 这种形式称为 Schrodinger图画( picture)。为明确起见,我们在和F的右上角都加注一个(S)来表示 它们是在 Schrodinger图画中: ih a()=BS)(t) t 0 但是对于算符H我们没有加注(S),其原因下面就会见到 3. Heisenberg图画 现在我们对平(S和FS进行如下的变换 H)-eiHt/h u(S) LF(H=eiHl/ F(s)e-iI/m 我们知道,这是一个幺正变换。(H和F(H分别称为 Heisenberg图画中的波函数和算符。从第二个变 换式我们可以看出(=(S),所以这两个图画中的 Hamiltonian是完全一样的
1 *§4.3 Schrödinger 图画和 Heisenberg 图画 1． H ˆ 与时间无关时 Schrödinger 方程初值问题的解 Schrödinger 方程是（为说明问题清楚起见，我们把时间变量明确写出来了） ( ) ˆ i ( ), t H t t = 通常还要求 ( )t 满足初始条件 0 0 ( ) . t t = = 假如 H ˆ 与时间无关，那么这个问题的解是 ˆ i / 0 0 ( ) e ( , 0) , H t t U t − = （直接代入就不难证明这一点），其中 ˆ i / ( , 0) e H t U t − = 称为时间演化算符。容易证明 U t( , 0) 是幺正算符，即 ˆ U t U t U t U t I ( , 0) ( , 0) ( , 0) ( , 0) . + + = = 所以它保证了几率守恒。这里我们不妨注意这样一点：在量子力学里系统的状态随时间的演化是一系列 的幺正变换，而在经典力学里系统的状态随时间的演化是一系列的正则变换。所以，量子力学的幺正变 换与经典力学的正则变换是相当的。 此外，算符 F ˆ 的平均值是 ( ) ˆ F t F t = ( ), ( ) . 这里我们假设 F ˆ 是不显含时间的，但 F 却可能与时间有关，因为 ( )t 在随时间演化。 2. Schrödinger 图画 事实上，在量子力学里，波函数和算符并不是物理上可以直接观察的对象。量子力学里可以观察的 量其实是内积 ( , ) （如果它是复数，就观察它的模和幅角）。在这个意义上，只要内积不变，我们用 什么波函数和算符来计算它，实际上是有选择的余地的。 如前所述，到目前为止，我们一直采用这样的形式来表达量子力学：波函数与时间有关并且服从 Schrödinger 方程，而算符与时间无关。用式子写出来就是 ( ) ˆ i ( ), ˆ 0. t H t t F t = = 这种形式称为 Schrödinger 图画（picture）。为明确起见，我们在 和 F ˆ 的右上角都加注一个 (S) 来表示 它们是在 Schrödinger 图画中： (S) (S) (S) ( ) ˆ i ( ), ˆ 0. t H t t F t = = 但是对于算符 H ˆ 我们没有加注 (S) ，其原因下面就会见到。 3. Heisenberg 图画 现在我们对 (S) 和 (S) F ˆ 进行如下的变换 ˆ (H) i / (S) ˆ ˆ (H) i / (S) i / e ( ), ˆ ˆ e e . H t H t H t t F F − = = 我们知道，这是一个幺正变换。 (H) 和 (H) F ˆ 分别称为 Heisenberg 图画中的波函数和算符。从第二个变 换式我们可以看出 (H) (S) H H ˆ = ˆ ，所以这两个图画中的 Hamiltonian 是完全一样的
注意到前面的公式S(1)=em),我们发觉实际上 Y(H)= y( 所以y(H)是与时间无关的。再计算一下F(H随时间的演化, H Ht/h e-Ht/n+eiHul As /de-iHuh at at at Ht/h iHt/n 1m(-上F(田= 所以总起来说y(H)和F)服从以下的方程 (H) 0 at aF(H) 「F(H),H 这就是 Heisenberg图画中的基本方程组。由于上述变换是幺正变换,所以在这两种图画中算出的波函数 的内积和算符的平均值都是一样的,也就是说,它们给出完全一样的物理预言 量子力学的 Schrodinger图画比较难于和经典力学做比较,因为在 Schrodinger图画中力学量算符是 与时间无关的,而在经典力学中力学量是随时间变化的。但是 Heisenberg图画却在形式和经典力学相当 接近。正像我们在§41中已经指出的那样, Heisenberg图画里力学量算符所满足的方程 F(H)H at ih 与经典力学里的正则运动方程 ( F, HiP 是互相对应的,换句话说,在形式上把经典力学里的 Poisson括号换成量子力学里的对易括号除以ih 我们就可以从经典力学的方程得出量子力学的方程。当然,这仅仅是形式的类比,二者在本质上仍有不 同的内容 此后我们实际上仍然使用 Schrodinger图画
2 注意到前面的公式 ˆ (S) i / (S) 0 ( ) e H t t − = ，我们发觉实际上 (H) (S) 0 = . 所以 (H) 是与时间无关的。再计算一下 (H) F ˆ 随时间的演化， ˆ ˆ (H) i / i / ˆ ˆ (S) i / i / (S) ˆ ˆ ˆ ˆ i / (S) i / i / (S) i / (H) (H) (H) ˆ e e ˆ ˆ e e i i ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e i i 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ , ]. i H t H t H t H t H t H t H t H t F F F t t t H F F H HF F H F H − − − − = + = − = − = 所以总起来说 (H) 和 (H) F ˆ 服从以下的方程： (H) (H) (H) 0, ˆ 1 ˆ ˆ [ , ]. i t F F H t = = 这就是 Heisenberg 图画中的基本方程组。由于上述变换是幺正变换，所以在这两种图画中算出的波函数 的内积和算符的平均值都是一样的，也就是说，它们给出完全一样的物理预言。 量子力学的 Schrödinger 图画比较难于和经典力学做比较，因为在 Schrödinger 图画中力学量算符是 与时间无关的，而在经典力学中力学量是随时间变化的。但是 Heisenberg 图画却在形式和经典力学相当 接近。正像我们在§4.1 中已经指出的那样，Heisenberg 图画里力学量算符所满足的方程 (H) (H) ˆ 1 ˆ ˆ [ , ] i F F H t = 与经典力学里的正则运动方程 P.B. { , } dF F H dt = 是互相对应的，换句话说，在形式上把经典力学里的 Poisson 括号换成量子力学里的对易括号除以 i ， 我们就可以从经典力学的方程得出量子力学的方程。当然，这仅仅是形式的类比，二者在本质上仍有不 同的内容。 此后我们实际上仍然使用 Schrödinger 图画