S82角动量的本征值和本征态 1.角动量的一般定义 我们知道,轨道角动量算符L的各个分量L,D,L满足对易关系 [L, L,]=ihL, [Ly, L]=ihL,, [L, L]=ihL 或者写为 [,=ihsk1k,(,,k=12,3=x,y2) 其中E是 Levi-Civita符号,或称三阶完全反对称单位张量,它对于,j,k是完全反对称的,并且约定 6123=1。这些对易关系是Lx,Ly,L2的定义以及量子力学基本对易关系的结果。但是,现在我们把它 们推广为量子力学中的一般角动量应该满足的对易关系,也就是说,我们假设若J是一个角动量算符, 那么它的各个分量算符Jx,Jy,J=就要满足 ViNJ=ihek JK 这可以看作是量子力学的角动量的一般定义。由此还不难证明 J2,]=0,J2=2+2+72,=x,y 所以,通常所说的“角动量本征态”不是Jx,,2的同时本征态“,而是J2和的同时本征态。采 用 Dirac符号,J2和J的同时本征方程是 J,m)=nh217,m) J_n, m)=mh/n,m) 其中|m)就是J2和了的同时本征态。注意,在Dac符号的形式下,我们只是说存在满足角动量的 对易关系的力学量和它们的本征态,但是并不需要把它们写成任何具体的形式 2.角动量的阶梯算符 现在我们引进如下的阶梯算符: Jx±iJ, 那么不难证明 ,小]=[,±[,]=±(-h,)=±h, 还有 [J,J≡J2J-JJ 把这两个式子作用于|7m),我们发现 J2(J4nm)=J1(Jnm)±h(小1m)=(m±1)h(J士n,m) (+In,m)=J(J2In, m)=nh2(J+)n, m) 这意味着 Jn,m)x|m±1) 所以J是J的上升算符,而J是J的下降算符,而且J的本征值上升和下降的公差都是h,但是它 们都不改变J2的本征值。还有一个对易关系是 U,J=U+iJyJr-iJ=-irJ+i[,J=2h. 把J2=12+72+72重新用,J,表出,结果是 J+J +72=+2+hJ2=J+72-h
1 §8.2 角动量的本征值和本征态 1．角动量的一般定义 我们知道，轨道角动量算符 L ˆ 的各个分量 Lx Ly Lz ˆ , ˆ , ˆ 满足对易关系 Lx Ly Lz Ly Lz Lx Lz Lx Ly ˆ ] i ˆ , ˆ , [ ˆ ] i ˆ , ˆ , [ ˆ ] i ˆ , ˆ [ = = = , 或者写为 ˆ ˆ ˆ [ , ] i , ( , , 1, 2, 3 , , ) L L L i j k x y z i j ijk k = = = 其中 ijk 是 Levi-Civita 符号，或称三阶完全反对称单位张量，它对于 i j k , , 是完全反对称的，并且约定 123 =1 。这些对易关系是 Lx Ly Lz ˆ , ˆ , ˆ 的定义以及量子力学基本对易关系的结果。但是，现在我们把它 们推广为量子力学中的一般角动量应该满足的对易关系，也就是说，我们假设若 J ˆ 是一个角动量算符， 那么它的各个分量算符 x y z J J J ˆ , ˆ , ˆ 就要满足 ˆ ˆ ˆ [ , ] i . i j ijk k J J J = 这可以看作是量子力学的角动量的一般定义。由此还不难证明 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ [ , ] 0, , , , . i x y z J J J J J J i x y z = + + = 所以，通常所说的“角动量本征态”不是 x y z J J J ˆ , ˆ , ˆ 的同时本征态“，而是 2 J 和 z J ˆ 的同时本征态。采 用 Dirac 符号， 2 J 和 z J ˆ 的同时本征方程是 J ,m ,m 2 2 = , J z ,m = m ,m , 其中 ,m 就是 2 J 和 z J ˆ 的同时本征态。注意，在 Dirac 符号的形式下，我们只是说存在满足角动量的 对易关系的力学量和它们的本征态，但是并不需要把它们写成任何具体的形式。 2．角动量的阶梯算符 现在我们引进如下的阶梯算符： x y J J J ˆ i ˆ ˆ , 那么不难证明 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ , ] [ , ] i[ , ] i i( i ) , z z x z y y x J J J J J J J J J = = − = 还有 2 2 2 ˆ ˆ ˆ [ , ] 0 J J J J J J − = . 把这两个式子作用于 ,m ，我们发现 J ( J m ) J ( J m ) ( J m ) m ( J m ) z z , , , ( 1) , = = , 和 J ( J ,m ) J ( J ,m ) ( J ,m ) 2 2 2 = = , 这意味着 J ,m ,m 1 , 所以 + J ˆ 是 z J ˆ 的上升算符，而 − J ˆ 是 z J ˆ 的下降算符，而且 z J ˆ 的本征值上升和下降的公差都是 ，但是它 们都不改变 2 J 的本征值。还有一个对易关系是 x y x y x y y x z J J J J J J J J J J J 2 ˆ ] ˆ , ˆ ] i[ ˆ , ˆ ] i[ ˆ i ˆ , ˆ i ˆ ] [ ˆ , ˆ [ + − = + − = − + = . 把 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ x y z J J J J + + 重新用 z J J J ˆ , ˆ , ˆ + − 表出，结果是 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 z z z z z J J J J J J J J J J J J J J + − − + − + + − + = + = + + = + −
3.J2和的本征值 在给定的n值之下,m的可能值一定是有界的。我们把给定n值以后m的最大值记为j,对应于m 取这个值的本征态是,那么就有 J n,j)=jn/n,j), J|,少=0 所以 Jm,八=(JJ+J2+hJ)少=(+1)h2|7 和Jm)=nh21m)比较,我们发现这给出了 7=j(+1) 另一方面,若m的最大值是j,则它的最小值一定是一j,并且 j-(-j)=2j=非负整数 所以我们得到如下的结论:J2和的本征值系列是 J2的本征值为j(j+1)h2,j=0,,1,3,2,…, J的本征值为mh, j,j-1,…一j 以后它们的同时本征态就记为J,m),即J,m)满足 1,m)=j(+1)h21,m) Jj, m)=mh j, m) 我们发现,前面通过求解微分方程的方法已经得到的轨道角动量的本征值系列确实包括在了这个系 列之中(j=0,1,2,…),但是这个系列里也包括了另外的角动量本征值(j=1/2,3/2,5/2,…)。以 后我们将会看到,电子的自旋角动量就是j=1/2的情形。所以,上面的分析确实导致了一个一般性的 结论 4.角动量的本征态 J|,m)=c:|j,m±1 那么 趣常(m4m=P=m 干h1,m)=((+1)-m(m±1)n2 定 c:=√jG+1)-m(m±1)h=VU土m+1)(干m)b 所以 J1|m)=√土m+1)干m)川1m士1) 由此我们知道:J的非零矩阵元是 (m士11,m)=√0土m+1)干m)九 所以Jx=(J+J)/2的非零矩阵元是 (m+11m)=2、+m+1(=m)九 (m-1x,m)=√0-m+1(+m) 而Jy=(J+-J-)/21的非零矩阵元是 (m+1J,m)=√+m+1)0-m)h
2 3． 2 J 和 z J ˆ 的本征值 在给定的 值之下， m 的可能值一定是有界的。我们把给定 值以后 m 的最大值记为 j ，对应于 m 取这个值的本征态是 , j ，那么就有 J j j j z , = , , J j , 0 + = , 所以 2 2 2 , ( ) , ( 1) , z z J j J J J J j j j j = + + = + − + , 和 J ,m ,m 2 2 = 比较，我们发现这给出了 = j( j +1). 另一方面，若 m 的最大值是 j ，则它的最小值一定是−j ，并且 j − (− j) = 2 j = 非负整数， 所以我们得到如下的结论： 2 J 和 z J ˆ 的本征值系列是 2 J 的本征值为 , 2, 2 3 , 1, 2 1 ( 1) , 0, 2 j j + j = , z J ˆ 的本征值为 m , m = j, j −1, ,− j . 以后它们的同时本征态就记为 j,m ，即 j,m 满足 2 2 J j m j j j m , ( 1) , = + , J ˆ z j,m = m j,m . 我们发现，前面通过求解微分方程的方法已经得到的轨道角动量的本征值系列确实包括在了这个系 列之中（ j = 0,1,2, ），但是这个系列里也包括了另外的角动量本征值（ j = 1/ 2, 3/ 2, 5 / 2, ）。以 后我们将会看到，电子的自旋角动量就是 j = 1/ 2 的情形。所以，上面的分析确实导致了一个一般性的 结论。 4．角动量的本征态 设 J j m c j m , , 1 , = 那么 ( ) 2 2 2 2 ˆ ˆ , , | | , , ( 1) ( 1) . z z j m J J j m c j m J J J j m j j m m = = − = + − 通常约定 c j j m m j m j m ( 1) ( 1) ( 1)( ) , = + − = + 所以 J j m j m j m j m , ( 1)( ) , 1 . = + 由此我们知道： J 的非零矩阵元是 j m J j m j m j m , 1 , ( 1)( ) , = + 所以 ( )/ 2 x J J J = ++ − 的非零矩阵元是 1 , 1 , ( 1)( ) , 2 x j m J j m j m j m + = + + − 1 , 1 , ( 1)( ) , 2 x j m J j m j m j m − = − + + 而 ( ) / 2i y J J J = − + − 的非零矩阵元是 i , 1 , ( 1)( ) , 2 y j m J j m j m j m − + = + + −
,m-1Jm)=√-m+1+m)h 另外,用不断地作用于|j并乘以适当的系数就可以得到其他的|,m),一般公式是 /-()042 在教材中采用了与此略有不同的代数方法,它们的结论是一样的。 *5.球谐函数的生成 把J具体化为轨道角动量L(O,g),那么 L +cot e cos p =-Ih cos -cot 8sn o =-aq 所以 L=h +icot e +icot e m=l的本征函数Yn(O,q)具有形式 1n(,q)=P(e 并满足 L,Yu= 代入L和Yn(,9)就发现P(O)满足 cot P(e) 它的解是 P(0)oc sin 完成波函数的归一化就得到 Y(.q)= 2+1)!1 sinello 如前所述,再用L不断地作用于Yn(O,q)就可以得到其余的Ym(,)。这样得到的Ym(,q)和我们前 面得到的球谐函数几乎完全相同,只是归一化因子中没有( 作业:习题94
3 i , 1 , ( 1)( ) . 2 y j m J j m j m j m − = − + + 另外，用 J− 不断地作用于 j j , 并乘以适当的系数就可以得到其他的 j m, ，一般公式是 (2 )! , , . (0 2 ) !(2 )! k j k J j j k j j k j k j − − − = 在教材中采用了与此略有不同的代数方法，它们的结论是一样的。 *5．球谐函数的生成 把 ˆ J 具体化为轨道角动量 ˆ L( , ) ，那么 + = i sin cot cos Lˆ x , − = − Lˆ y i cos cot sin , i , ˆ Lz = − 所以 + + = e icot ˆ i L , + = − − − e i cot ˆ i L . m l = 的本征函数 ( , ) Yll 具有形式 i ( , ) ( )e , l Y P ll = 并满足 ˆ 0, L Y+ ll = 代入 L ˆ + 和 ( , ) Yll 就发现 P( ) 满足 cot ( ), dP l P d = 它的解是 ( ) sin . l P 完成波函数的归一化就得到 i (2 1)! 1 ( , ) sin e 2 2 ! l l ll l l Y l + = . 如前所述，再用 L− ˆ 不断地作用于 ( , ) Yll 就可以得到其余的 ( , ) Ylm 。这样得到的 (,) Ylm 和我们前 面得到的球谐函数几乎完全相同，只是归一化因子中没有 m (−1) 。 作业：习题 9.4