《量子力学习题》微扰理论

七微扰理论 1、转动惯量为I,电矩为D的平面转子处在均匀电场E中,电场是在 转子运动的平面上,用微扰法求转子能量的修正值。 2、转子惯量为I,电矩为D的空间转子处在均匀弱电场E中,用微扰 法求转子基态能量的二级修正。 3、设体系未受微扰作用时,只有两个能级E及Em,现受到微扰H 作用,微扰矩阵元为H12=H21=a,H1=H2=b,a,b都是实数 用微扰公式求能量至二级修正值 、一维势阱宽度为a,其势能函数为: xa (x)={0 4a<x<aa≤x≤a k是常数,把此势阱中的粒子看成是受到微扰的关在盒子中的粒 子,求其能量的一级近拟。 x<0,x 5、粒子在一维势阱 3)=1205x≤a中运动,甚小,试求 其基态能量的一级与二级修正 6、如果把正常塞曼效应中的磁场引起的附加项看作微扰,试计算碱金 属原子E能级的一级修正(注:无外磁场时,碱金属原子的波函 数Vm=Rn()yma是正交归一的。 7、一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场E作用,电场沿正x方向, 用微扰法求体系的能量至二级修正。 u(x)=kx"+cx+dx 8、一维非线性谐振子的势能为 若把非谐项看作 微扰,试求基态和第一激发态能量的一级修正。 H 2x 9、耦合振子的哈密顿称荷为 Z 2Anp. 1为常数,试用徽扰法求其第一激发态能量的一级修正。 H= 10、设哈密顿在能量表象中的矩阵形式为 es+a 其中a、b为实数,求: (1)用徹扰法公式求能量至二级修正 (2)直接求能量,并和(1)所得结果比较

七.微扰理论 1、转 动惯量为 I，电矩 为 D  的 平面转子处 在均匀电场  中，电 场是在 转 子 运 动 的平面上 ，用微扰法 求转子能量 的修正值 。 2、转 子惯量为 I，电矩 为 D  的 空间转子处 在均匀弱电 场  中，用微扰 法 求 转 子 基态能量 的二级修正 。 3、设体系未受 微扰作用时 ，只有两 个能级 E01 及 E02 ，现受到微扰 H  作用 ，微扰 矩阵元为 H12  = H21  = a ， H11  = H22  = b， a,b 都是 实数， 用 微 扰 公 式求能量 至二级修正 值。 4、 一 维 势 阱宽度为 a， 其势能函数 为：      = k u(x) 0 a x a x a x o x a 4 3 4 1 4 1 0 ,       a  x  a 4 3 k 是 常 数，把 此势阱 中的粒 子看成是 受到微 扰的关 在盒子中 的粒 子 ， 求 其 能量的一 级近拟。 5、 粒 子在一 维势 阱    =  u(x) x a x x a     0 0, 中运动，  甚 小 ，试求 其 基 态 能 量的一级 与二级修正 。 6、如果把正 常塞曼效 应中的磁场 引起的附加 项看作微扰 ，试计 算碱金 属原 子 En 能 级的一级修 正（注：无外磁场时，碱金属原子 的波函 数 ( , ) ( )  nlm nl lm   = R r y 是 正 交 归 一的。 7、一 电荷为 e 的线性谐振 子受恒定弱 电场  作 用，电场 沿正 x 方向 ， 用 微 扰 法 求体系的 能量至二级 修正。 8、一维非线性 谐振子的势 能为 2 3 4 2 1 u(x) = kx + cx + dx ，若把非谐 项看作 微 扰 ， 试 求基态和 第一激发态 能量的一级 修正。 9、 耦 合 振 子的哈 密顿称荷为 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 ˆ ˆ w x x x p H i i i    −         =  + = ，  为 常 数 ，试 用微扰法求 其第一激发 态能量的一 级修正。 10、 设 哈 密 顿在能 量表象中的 矩阵形式为           + + = E a b b E a H 0 2 0 1 其 中 a、 b 为 实数，求： （ 1） 用 微 扰法公式求 能量至二级 修正； （ 2） 直 接 求能量，并 和（1）所得 结果比较

H 30 11、设哈密顿量在能量表象中的矩阵形式为 (1)求H的精确本征值 (2)设c《1,利用微扰法理论求能量至二级修正; (3)在什么条件下上述两种结果一致。 A+b A-B H 设哈密顿量在能量表象中的矩阵形式为 A-B A+B 其中A、B为实数,求: (1)若(A+B)》(A-B),用微扰法求能量至一级修正。 (2)直接求能量本征值并和(1)所得结果进行比较。 13、电荷为e的线性谐振子在t=0时处于基态,t>0时处于8=0e的 弱电场中,求经过充分长的时间后线性谐振子处于第一激发态的几 率 14、基态氢原子处在平行板电场中,若电场是均匀的,且随时间按指 0 E t≤0 数下降,即e120,其中z为大于0的参数,求经过长 时间后氢原子处于2P态的几率

11、 设 哈 密 顿量在 能量表象 中的矩阵形 式为           − = 0 0 1 3 0 1 0 c c c H （ 1） 求 H 的精确 本征值； （ 2） 设 c 《 1，利用微扰 法理论求能 量至二级 修正； （ 3） 在 什 么条件下上 述两种结果 一致。 12、 设 哈 密 顿量在 能量表象中 的矩阵形式 为         − + + − = A B A B A B A B H 其 中 A、B 为实数， 求： （ 1）若（ A+B）》（ A-B）， 用微扰法求 能量至一级 修正。 （ 2） 直 接 求能量本征 值并和（1） 所得结果 进行比较。 13、电 荷为 e 的 线性谐振子在 t=0 时处于基态， t>0 时处于    t e − = 0 的 弱电 场中，求经 过充分长 的时间后线 性谐振子处 于第一激发 态的几 率 。 14、 基 态氢 原子 处在 平行 板电 场中 ，若 电场是 均匀 的， 且随 时间 按指 数下 降，即      = −    t e0 0 0 0   t t ，其中  为大于 0 的参数，求经 过长 时 间 后 氢 原子处于 2P 态的几率